• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Математика

2018/2019
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
11
Кредиты

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Математика (математический анализ и линейная алгебра)» являются овладение основами математического анализа и линейной алгебры, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.). По дисциплине предусмотрены текущий контроль в форме письменных контрольных работ и итоговый контроль в форме экзамена. Итоговая оценка по дисциплине (оценка по промежуточной аттестации) выставляется с учетом результатов как текущего, так и итогового контроля. Правила выставления оценки по промежуточной аттестации определены Программой дисциплины, размещенной в открытом доступе на корпоративном сайте (портале) НИУ ВШЭ.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математика (математический анализ и линейная алгебра)» являются овладение основами математического анализа и линейной алгебры, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.).
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Находит пределы последовательностей, функций
  • Находит производные и дифференциалы ф-и 1-й переменой. Использует производные в приложениях.
  • Строит графики ф-ий 1-й переменой с использованием пределов и производных.
  • Находит интегралы ф-ии 1-й переменной. Использует интегралы в приложениях.
  • Находит производные и дифференциалы ф-и многих переменых. Использует производные в приложениях.
  • Решает дифференциальные уравнения 1-го порядка.
  • Проверяет сходимость рядов.
  • Применяет операции над матрицами. Находит определители. Решает матричные уравнения.
  • Решает любые системы линейных уравнений.
  • Находит собственные значения и собственные вектора матриц.
  • Решает задачи с 2-х, 3-х (и более) мерными объектами.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции
    Множества. Элементы мат. логики. Кванторы существования и всеобщности. Числовая последовательность (ЧП). Предел ЧП. Бесконечно малые (БМ) и бесконечно большие (ББ) ЧП. Сходящиеся ЧП. Арифметические действия со сходящимися ЧП. Неубывающие, невозрастающие, монотонные, ограниченные ЧП. Число . Предел функции в точке (определения Коши и Гейне). Бесконечный предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. БМ и ББ функции. Сравнение БМ: БМ одного порядка, эквивалентные БМ, БМ более высокого порядка Арифметические действия с пределами функций. 1-й и 2-й замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
  • Дифференциальное исчисление функции одной переменной
    Производная функции в точке. Операция дифференцирования и ее свойства. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к прямой. Производные элементарных функций. Производная композиции функций (цепное правило). Дифференцирование показательно-степенной, обратной, параметрически заданной, неявной функции. Понятие дифференциала и его связь с понятием производной. Приближенные вычисления с помощью первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Односторонние производные. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формулы Маклорена для элементарных функций (тригонометрические, показательные, логарифмические). Вычисление пределов с помощью асимптотических разложений.
  • Исследование графиков функций одной переменной
    Понятие локального экстремума функции. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Формула Лагранжа конечных приращений. Выпуклость, точки перегиба гладких функций. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке. Схема исследования функций.
  • Интегральное исчисление функции одной переменной
    Неопределенный интеграл (первообразная). Свойства неопределенных интегралов. Табличное интегрирование. Замена переменной в неопределенном интеграле: внесение под знак дифференциала, подстановка. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов). Интегрирование простейших классов тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги гладкой кривой. Объем тела вращения. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Понятие сходимости и простейшие методы ее исследования.
  • Дифференциальное исчисление функции многих переменных
    Последовательность точек в многомерном пространстве. Предел и непрерывность функции многих переменных. Линии (поверхности) уровня. Частные производные. Дифференцирование композиции функций многих переменных. Полная производная сложной функции независимой переменной. Производная неявной функции одной переменной. Частная производная неявной функции 2-х переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных. Достаточные условия локального экстремума функции 2-х переменных.
  • Дифференциальные уравнения 1-го порядка
    Понятие дифференциального уравнения 1-го порядка, понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли.
  • Числовые ряды.
    Понятие числового ряда. Знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Частичные суммы, сходимость, связь с числовыми последовательностями. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Простейшие случаи прямого суммирования рядов по определению. Сходимость знакопостоянных числовых рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
  • Матричное исчисление. Теория определителей.
    Определение числовых матриц и различные формы их истолкования. Столбцы, строки, главная и побочная диагонали (для квадратных матриц). Сложение матриц и умножение на число, свойства линейных операций. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования. Индексные обозначения элементов матриц и операций над ними. Матрицы-столбцы и матрицы-строки. Умножение матриц, правило «строка на столбец». Свойства умножения матриц, взаимные свойства умножения и сложения. Обратная матрица. Элементарные преобразования строк (столбцов) в терминах умножения матриц. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований строк присоединенной матрицы. Специальные типы квадратных матриц: матрицы верхнее (нижне) треугольные, симметрические, антисимметрические, идемпотентные, проекторы, нильпотентные, диагональные, ортогональные, положительно определенные. След квадратной матрицы и его свойства. Понятие линейной зависимости (независимости) системы числовых столбцов (строк). Линейная оболочка системы столбцов. Свойства линейно зависимых и независимых систем. Ранг и база системы и их вычисление. Базис как максимальная линейно независимая подсистема системы столбцов. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Миноры произвольного порядка. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы. Миноры его элементов и их алгебраические дополнения. Разложение определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителей. Вычисление определителей путем накопления нулей в строке (столбце), приведение к треугольному (диагональному) виду. Детерминант как индикатор линейной зависимости системы своих столбцов (строк).
  • Общая теория систем линейных уравнений
    Развернутая и матричная формы записи системы линейных уравнений. Равносильные преобразования системы и соответствующие им элементарные преобразования строк расширенной матрицы. Условие совместности линейной системы (теорема Кронеккера-Капелли). Нахождение решений методом Гаусса-Жордана (процедура диагонализации). Приведенная система. Множество решений однородной системы. Фундаментальная система решений приведенной системы. Структура общего решения произвольной системы линейных уравнений, матричная форма его записи. Метод Крамера решения невырожденных квадратных линейных систем. Метод обратной матрицы решения невырожденных систем.
  • Собственные вектора и собственные значения матрицы
    Собственные числа (значения) матрицы, понятие спектра. Характеристическое уравнение. Свойства собственных векторов и собственных значений. Способы отыскания собственных векторов. Базис из собственных векторов.
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
    Понятие вектора как элемента пространств действительных чисел (2- и 3- мерных) , координаты вектора. Модуль вектора, угол между векторами. Линейные операции над векторами: сложение, умножение на скаляр. Нелинейные операции над векторами: скалярное, векторное, смешанное произведения, их геометрический смысл и формулы для вычисления в координатах. Понятия коллинеарности, компланарности, ортогональности векторов. Прямая на плоскости: основные виды уравнений, угол между прямыми, взаимное расположение прямых на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве: основные виды уравнений, взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости. Углы между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Кривые 2-го порядка. Приведение к каноническому виду, определение типа кривой (эллипс, гипербола, парабола).
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная
  • неблокирующий контрольная
  • неблокирующий экзамен в конце 2 модуля
  • неблокирующий контрольная
  • неблокирующий контрольная
  • неблокирующий экзамен в конце 4 модуля
    Для студентов, желающих повысить свой балл, предусмотрена возможность сдачи письменного экзамена.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.33 * контрольная + 0.33 * контрольная + 0.34 * экзамен в конце 2 модуля
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.16 * контрольная + 0.16 * контрольная + 0.5 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.18 * экзамен в конце 4 модуля
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бугров Я. С., Никольский С. М.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. ТОМ 3. В 2 КН. КНИГА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-288-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-8643-3, 978-5-9916-8646-4: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-tom-3-v-2-kn-kniga-1-differencialnye-uravneniya-kratnye-integraly-437221
  • Бугров Я.С., Никольский С.М.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.3 В 2 КНИГАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-507-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-6340-3, 978-5-9916-6341-0, 978-5-9916-6342-7, 978-5-9916-6350-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-3-v-2-knigah-differencialnye-uravneniya-kratnye-integraly-ryady-funkcii-kompleksnogo-peremennogo-388890
  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 В 2 КН. КНИГА 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-324-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-07067-5, 978-5-534-07068-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-ch-chast-1-v-2-kn-kniga-1-437203
  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 В 2 КН. КНИГА 2 4-е изд., пер. и доп. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-315-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-07069-9, 978-5-534-07068-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-ch-chast-1-v-2-kn-kniga-2-437204
  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 3-е изд. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-324-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-09085-7, 978-5-534-07068-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-ch-chast-2-427043
  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров-М.:Издательство Юрайт,2016-660-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-2733-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Под ред. Кремера Н.Ш.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 3-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для бакалавриата и специалитета-М.:Издательство Юрайт,2019-422-Бакалавр и специалист-978-5-534-08547-1: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-432050

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Краснова С. А., Уткин В. А.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-298-Высшее образование-978-5-9916-6383-0, 978-5-9916-6979-5: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-dlya-ekonomistov-v-2-ch-chast-1-433695
  • Краснова С. А., Уткин В. А.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2. Учебник и практикум для прикладного бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-315-Бакалавр. Прикладной курс-978-5-9916-6978-8, 978-5-9916-6979-5: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-dlya-ekonomistov-v-2-ch-chast-2-434096