Кто читает:: Кафедра математики (Нижний Новгород) (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Абрашкин Анатолий Александрович

Бляхман Людмила Григорьевна

Громов Евгений Михайлович

Оносова Ирина Вадимовна

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Математика (математический анализ и линейная алгебра)» являются овладение основами математического анализа и линейной алгебры, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.). По дисциплине предусмотрены текущий контроль в форме письменных контрольных работ и итоговый контроль в форме экзамена. Итоговая оценка по дисциплине (оценка по промежуточной аттестации) выставляется с учетом результатов как текущего, так и итогового контроля. Правила выставления оценки по промежуточной аттестации определены Программой дисциплины, размещенной в открытом доступе на корпоративном сайте (портале) НИУ ВШЭ.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математика (математический анализ и линейная алгебра)» являются овладение основами математического анализа и линейной алгебры, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.).

Планируемые результаты обучения

Находит пределы последовательностей, функций
Находит производные и дифференциалы ф-и 1-й переменой. Использует производные в приложениях.
Строит графики ф-ий 1-й переменой с использованием пределов и производных.
Находит интегралы ф-ии 1-й переменной. Использует интегралы в приложениях.
Находит производные и дифференциалы ф-и многих переменых. Использует производные в приложениях.
Решает дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Проверяет сходимость рядов.
Применяет операции над матрицами. Находит определители. Решает матричные уравнения.
Решает любые системы линейных уравнений.
Находит собственные значения и собственные вектора матриц.
Решает задачи с 2-х, 3-х (и более) мерными объектами.

Содержание учебной дисциплины

Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции
Множества. Элементы мат. логики. Кванторы существования и всеобщности. Числовая последовательность (ЧП). Предел ЧП. Бесконечно малые (БМ) и бесконечно большие (ББ) ЧП. Сходящиеся ЧП. Арифметические действия со сходящимися ЧП. Неубывающие, невозрастающие, монотонные, ограниченные ЧП. Число . Предел функции в точке (определения Коши и Гейне). Бесконечный предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. БМ и ББ функции. Сравнение БМ: БМ одного порядка, эквивалентные БМ, БМ более высокого порядка Арифметические действия с пределами функций. 1-й и 2-й замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции в точке. Операция дифференцирования и ее свойства. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к прямой. Производные элементарных функций. Производная композиции функций (цепное правило). Дифференцирование показательно-степенной, обратной, параметрически заданной, неявной функции. Понятие дифференциала и его связь с понятием производной. Приближенные вычисления с помощью первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Односторонние производные. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формулы Маклорена для элементарных функций (тригонометрические, показательные, логарифмические). Вычисление пределов с помощью асимптотических разложений.
Исследование графиков функций одной переменной
Понятие локального экстремума функции. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Формула Лагранжа конечных приращений. Выпуклость, точки перегиба гладких функций. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке. Схема исследования функций.
Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл (первообразная). Свойства неопределенных интегралов. Табличное интегрирование. Замена переменной в неопределенном интеграле: внесение под знак дифференциала, подстановка. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов). Интегрирование простейших классов тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги гладкой кривой. Объем тела вращения. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Понятие сходимости и простейшие методы ее исследования.
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Последовательность точек в многомерном пространстве. Предел и непрерывность функции многих переменных. Линии (поверхности) уровня. Частные производные. Дифференцирование композиции функций многих переменных. Полная производная сложной функции независимой переменной. Производная неявной функции одной переменной. Частная производная неявной функции 2-х переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных. Достаточные условия локального экстремума функции 2-х переменных.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Понятие дифференциального уравнения 1-го порядка, понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли.
Числовые ряды.
Понятие числового ряда. Знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Частичные суммы, сходимость, связь с числовыми последовательностями. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Простейшие случаи прямого суммирования рядов по определению. Сходимость знакопостоянных числовых рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Матричное исчисление. Теория определителей.
Определение числовых матриц и различные формы их истолкования. Столбцы, строки, главная и побочная диагонали (для квадратных матриц). Сложение матриц и умножение на число, свойства линейных операций. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования. Индексные обозначения элементов матриц и операций над ними. Матрицы-столбцы и матрицы-строки. Умножение матриц, правило «строка на столбец». Свойства умножения матриц, взаимные свойства умножения и сложения. Обратная матрица. Элементарные преобразования строк (столбцов) в терминах умножения матриц. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований строк присоединенной матрицы. Специальные типы квадратных матриц: матрицы верхнее (нижне) треугольные, симметрические, антисимметрические, идемпотентные, проекторы, нильпотентные, диагональные, ортогональные, положительно определенные. След квадратной матрицы и его свойства. Понятие линейной зависимости (независимости) системы числовых столбцов (строк). Линейная оболочка системы столбцов. Свойства линейно зависимых и независимых систем. Ранг и база системы и их вычисление. Базис как максимальная линейно независимая подсистема системы столбцов. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Миноры произвольного порядка. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы. Миноры его элементов и их алгебраические дополнения. Разложение определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителей. Вычисление определителей путем накопления нулей в строке (столбце), приведение к треугольному (диагональному) виду. Детерминант как индикатор линейной зависимости системы своих столбцов (строк).
Общая теория систем линейных уравнений
Развернутая и матричная формы записи системы линейных уравнений. Равносильные преобразования системы и соответствующие им элементарные преобразования строк расширенной матрицы. Условие совместности линейной системы (теорема Кронеккера-Капелли). Нахождение решений методом Гаусса-Жордана (процедура диагонализации). Приведенная система. Множество решений однородной системы. Фундаментальная система решений приведенной системы. Структура общего решения произвольной системы линейных уравнений, матричная форма его записи. Метод Крамера решения невырожденных квадратных линейных систем. Метод обратной матрицы решения невырожденных систем.
Собственные вектора и собственные значения матрицы
Собственные числа (значения) матрицы, понятие спектра. Характеристическое уравнение. Свойства собственных векторов и собственных значений. Способы отыскания собственных векторов. Базис из собственных векторов.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Понятие вектора как элемента пространств действительных чисел (2- и 3- мерных) , координаты вектора. Модуль вектора, угол между векторами. Линейные операции над векторами: сложение, умножение на скаляр. Нелинейные операции над векторами: скалярное, векторное, смешанное произведения, их геометрический смысл и формулы для вычисления в координатах. Понятия коллинеарности, компланарности, ортогональности векторов. Прямая на плоскости: основные виды уравнений, угол между прямыми, взаимное расположение прямых на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве: основные виды уравнений, взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости. Углы между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Кривые 2-го порядка. Приведение к каноническому виду, определение типа кривой (эллипс, гипербола, парабола).

Элементы контроля

контрольная
контрольная
экзамен в конце 2 модуля
контрольная
контрольная
экзамен в конце 4 модуля
Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Moodle (https://et.hse.ru/), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.33 * контрольная + 0.33 * контрольная + 0.34 * экзамен в конце 2 модуля
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.16 * контрольная + 0.16 * контрольная + 0.5 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.18 * экзамен в конце 4 модуля

Бакалаврская программа «Управление бизнесом»

Математика

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература