• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Алгебра

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
5
Кредиты

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина является продолжением курса алгебры на 1 курсе бакалавриата. Дисциплина направлена на освоение таких понятий и утверждений линейной алгебры как теория билинейных и квадратичных форм, теория евклидовых и унитарных пространств и линейных отображений в них, теория тензоров.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение фундаментальных понятий и результатов линейной алгебры.
  • Формирование умений и навыков в решении задач линейной алгебры.
  • Знакомство с основными вычислительными алгоритмами линейной алгебры
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
  • Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
  • Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
  • Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
  • Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
  • Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
  • Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
  • Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
  • Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
  • Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
  • Знать определения и основные факты теории тензоров
  • Уметь доказывать основные факты теории тензоров
  • Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Билинейные и квадратичные формы.
    Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса. Эквивалентность билинейных и квадратичных форм. Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы.
  • Евклидово (унитарное) пространство.
    Скалярное произведение, свойства. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональное дополнение подпространства.
  • Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
    Соответствие между линейными операторами и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Свойства. Матрица сопряженного оператора. Инвариантные подпространства относительно сопряженного. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства. Спектр самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм. Ортогональные (унитарные) операторы, их свойства, эквивалентные определения. Матрица ортогонального оператора, свойства собственных чисел и собственных векторов ортогонального оператора. Канонический вид ортогонального (унитарного) оператора.
  • Тензоры.
    Сопряженное векторное пространство, двойственный базис. Определение тензора, координаты тензора. Операции над тензорами.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий устный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.3 * Контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.3 * Контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
  • Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
  • Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
  • Задачи и теоремы линейной алгебры, [перераб. и расш.], 575 с., Прасолов, В. В., 2015
  • Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
  • Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016