• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Научно-учебная группа «Эволюционные полугруппы и их новые приложения»

Теорию операторных полугрупп стало невозможно вычеркнуть из анналов мировой науки в 1932 году, когда в Annals of Mathematics была опубликована знаменитая теорема Стоуна, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между самосопряжёнными операторами H в гильбертовом пространстве и сильно непрерывными группами exp(-itH) унитарных операторов в этом гильбертовом пространстве. Эта теорема обосновывает существование решений у любого уравнения Шрёдингера с самосопряжённым гамильтонианом H, тем самым гарантируя существование динамики (наличия будущих состояний при известном начальном состоянии) для любой квантовой системы. В силу этого теорема Стоуна является одним из математических оснований для аксиом квантовой механики в представлении Шрёдингера — выдающегося достижения XX века, до сих пор не утратившего своей актуальности, при этом на протяжении своей почти вековой истории квантовая механика остаётся одной из наиболее точно проверенных экспериментально теорий, описывающих окружающий нас мир.

Дальнейшее развитие теории однопараметрических операторных полугрупп связано с именами Троттера, Като, Хилле, Иосиды, Филлипса и других ученых, исследовавших общие свойства таких полугрупп и уточнивших её связи с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. В 1968 году Чернов опубликовал носящую сейчас его имя теорему об аппроксимации операторных полугрупп, а в начале 2000-х профессор МГУ О.Г.Смолянов (научный руководитель по кандидатской диссертации И.Д.Ремизова) начал систематически использовать теорему Чернова для приближённого нахождения решений дифференциальных уравнений. При этом решение представляется в виде предела сходящихся к нему функций, называемых черновскими аппроксимациями, а ценность такого представления в том, что аппроксимации явно выражаются через переменные коэффициенты уравнения с помощью элементарных функций. В рамках этого подхода за последние 20 лет ученики Смолянова во многих ситуациях получили черновские аппроксимации для решений уравнения Шрёдингера и параболических дифференциальных уравнений с переменными вещественными коэффициентами.

Научные исследования в предлагаемом проекте строятся вокруг следующей новой идеи И.Д.Ремизова: резольвента генератора полугруппы выражается через полугруппу с помощью стандартного интегрального равенства (резольвента является преобразованием Лапласа для полугруппы), а если полугруппу в этом равенстве приблизить черновскими аппроксимациями, то получатся черновские аппроксимации для резольвенты. В результате становится возможно находить черновские аппроксимации для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными, чего ранее (насколько нам известно) никто никогда не делал. Универсальных методов нахождения частного решения такого уравнения не существует, поэтому черновские аппроксимации могут оказаться полезным инструментом как с теоретической точки зрения (явная формула, выражающая решение через коэффициенты, часто бывает полезна), так и с практической точки зрения для нахождения приближённого решения уравнения.

Простейшим одномерным случаем такого уравнения является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка a(x)f’’(x)+b(x)f’(x)+c(x)f(x)=g(x) с переменными коэффициентами a,b,c,g, при этом переменная x пробегает вещественную прямую. Важно, что вид функций a,b,c,g не важен для предлагаемого подхода, достаточно требований непрерывности и гладкости. Построению и исследованию явно выраженных через a,b,c,g черновских аппроксимаций к решению этого уравнения и посвящён предлагаемый проект. Планируется выяснить также скорость сходимости черновских аппроксимаций с помощью компьютерного моделирования. Таким образом, предложен новый неожиданный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на глубоких идеях функционального анализа, а проект посвящён развитию и исследованию этого метода.