Научный семинар лаборатории динамических систем и приложений

Изучение многомерных динамических систем имеет свою специфику, связанную с тем, что вся известная на сегодняшний день техника работы с многообразиями большой размерности оперирует непрерывными категориями. Эта специфика приводит к тому, что изучение гладких систем на  многомерных многообразиях сводится к изучению им сопряженных топологических аналогов (см., например, [1], [2]). Кроме того, инвариантные подмножества гладкой системы зачастую не являются даже топологическими подмногообразиями, в силу чего динамика на таких подмножествах уже не является гладкой (см., например, [3], [4], [5]).  Начиная с размерности четыре, появляются так называемые экзотические многообразия, не допускающие гладких структур, многообразия, не допускающие триангуляции, и другие особенности, препятствующие использованию техники изучения гладких многообразий. На таких многообразиях любая динамика может быть определена только в непрерывной категории.  В связи с этим, идея описания свойств динамических систем или функций на многообразиях, исключительно в топологических терминах, совершенно естественна.

         Работа посвящена исследованию глобальной динамики регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на многообразиях — динамических систем с топологически гиперболическим цепно рекуррентным множеством, состоящим из конечного числа орбит. Для таких систем получены следующие результаты. 

Описана глобальная динамика регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков, включающая описание поведения инвариантных многообразий цепных компонент, как с точки зрения асимптотики, так и с точки зрения топологии их вложения в несущее многообразие.

Для регулярных топологических потоков конструктивно доказано существование энергетической функции Морса-Ботта. Полученный результат является идейным продолжением работ С. Смейла [6] и К. Мейера [7] о существовании энергетической функции Морса-Ботта для потоков Морса-Смейла, а также частичным решением проблемы Марстона Морса [8] о существовании непрерывных функций Морса на любых топологических многообразиях. 

Получена полная топологическая классификация градиентно-подобных гомеоморфизмов поверхностей и гомеоморфизмов n-мерного тора, являющихся декартовыми произведениями регулярных гомеоморфизмов окружности.

[1] Grines V., Gurevich E., Pochinka O., Malyshev D. On topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on the sphere S^n (n > 3) // Nonlinearity. 2020. Vol. 33. No. 12. P. 7088-7113.

[2] Medvedev V., Zhuzhoma E. V. Supporting manifolds for high-dimensional Morse-Smale diffeomorphisms with few saddles // Topology and its Applications. 2020. Vol. 282. P. 1-11.

[3] D. Pixton. Wild unstable manifolds // Topology. 1977. V. 16. N. 2.

167--172.

[4] Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Поверхностные базисные множества с дико вложенными несущими поверхностями”, Матем. заметки, 85:3 (2009),  356–372.

[5] T.V. Medvedev, O,V, Pochinka. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems // Dynamical Systems. 2018. Vol. 33. No. 4. P. 660-666.

[6] Smale S. On gradient dynamical systems. // Ann. of Math. (2), 74:199--206, 1961.

[7] Meyer K. R. Energy functions for Morse Smale systems // Amer. J. Math. - 1968. - Vol. 90. - P. 1031--1040.

[8] Morse M. Topologically non-degenerate functions on a compact n-manifold // J. Analyse Math. - 1959. - Vol. 7. - P. 189-208.

Как следует из классических работ Андронова, Леонтович, Майера и Пейшото, полным топологическим инвариантом для градиентно-подобных потоков (структурно-устойчивых потоков с конечным неблуждающим множеством) на поверхностях является граф, множество вершин которого изоморфно множеству состояний равновесия потока, а множество ребер - множеству сепаратрис седловых состояний равновесия.  Уманский показал, что возможно обобщение этого инварианта для потоков Морса-Сейла с конечным числом гетероклинических орбит (включающих градиентно-подобные потоки), заданных  на трехмерных многообразиях.

Пилюгин доказал, что граф Пейшото является полным топологическим инвариантом для градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений, заданных на сфере размерности три и выше, и  это единственный содержательный результат, известный автору,  касающийся топологической классификации градиентно-подобных потоков с фазовым пространством высокой размерности. Из работ Илса и Куипера следует, что на многообразиях размерности 8 и 16  существуют топологически неэквивалентные  потоки, неблуждающее множество которых состоит в точности из трех точек: источника, стока и седла, размерность неустойчивого многообразия которого равна 4 и 8 соответственно. В   работах Жужомы, Медведева, Починки построены примеры градиентно-подобных потоков на четырехмерных многообразиях с  дико вложенными замыканиями  сепаратрис коразмерности два, а также с  диким вложением гетероклинических  подмногообразий (компонент связности пересечения инвариантных многообразий седел).  Все эти примеры демонстрируют препятствия к  получению достаточных условий топологической эквивалентности градиентно-подобных  потоков на комбинаторном языке. 

В докладе выделяются классы  градиентно-подобных потоков  без гетероклинических пересечений, для которых  классификация в комбинаторных терминах возможна, несмотря на высокую размерность несущего многообразия.

Согласно классификации Нильсена-Терстона множество гомотопических классов сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов ориентируемых поверхностей разбивается на четыре непересекающихся подмножества. Каждый тип  определяются содержанием в классе гомеоморфизма одного из следующих типов:

T_1. периодический гомеоморфизм;

T_2. приводимый непериодический гомеоморфизм  алгебраически конечного типа;

T_3. приводимый гомеоморфизм, не являющийся гомеоморфизмом алгебраически конечного типа;

T_4. псевдоаносовский гомеоморфизм.

Известно, что на двумерном торе существуют гомеоморфизмы только трех типов T_1,T_2,T_4. При этом, все представители класса T_4. имеют хаотическую динамику, тогда как в каждом гомотопическом классе типов T_1 и T_2 существуют регулярные диффеоморфизмы, в частности диффеоморфизмы  Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит. Автором найден критерий, позволяющий однозначно определить гомотопический тип диффеоморфизма Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических  орбит на двумерном торе. Для этого все  гетероклинические области такого диффеоморфизма поделены на тривиальные (содержащиеся в диске) и нетривиальные.

Доказано, что диффеоморфизмы Морса-Смейла, содержащие гетероклинические орбиты только в тривиальных гетероклинических областях изотопически эквивалентны диффеоморфизмам Морса-Смейла без гетероклинических орбит и, соответственно, принадлежат первому типу Нильсена-Терстона T_1. Пространство орбит нетривиальных гетероклинических областей состоит из конечного числа двумерных торов, куда седловые сепаратрисы, участвующие в гетероклинических пересечениях проектируются как трансверсально пересекающиеся узлы.  Доказано, что принадлежность типам T_1 или T_2 однозначно определяется суммарным индексом пересечения таких узлов.

Благодарности: Работа выполнена при поддержке гранта РНФ, договор 21-11-00010. Автор благодарит В.З. Гринеса и О.В. Починку за постановку задачи и плодотворные обсуждения

Решение задачи об описании сопряженного пространства необходи- мо, например, в вопросах интерполяции аналитических функций, в теории уравнении свёртки. Мы изучаем гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром. Эти пространства, например, состоят из функций, заданных на некотором множестве точек M , и для любого t₀ из M дельта - функционал f в f (t₀) является линейнем непрерывным функционалом. Такими пространствами будут, в частности, гильбертовы пространства аналитических функций, пространства последовательностей.

В докладе приводится новый метод решения задачи об описании пространства, сопряженного к гильбертову пространству с воспроизводящим ядром.

Метод основан на применении теории систем разложения подобных ортогональным (ортоподобных систем разложения), введенных ранее Т.П. Лукашенко. Эти системы являются обобщением ортонормированных базисов в гильбертовом пространстве.

Как оказалось, ортоподобная система полностью определяет гильбертово пространство с воспроизводящим ядром.

Также сформулированы результаты о связи задачи описания сопряженного пространства и вопроса существования в исходном пространстве специальной ортоподобной системы разложения.

Как применение метода, приведено решение задачи из комплексного анализа. Следующий результат получен совместно с Валентином Васильевичем Напалковым. Мы рассматриваем специальное гильбертово пространство, состоящее, вообще говоря, из неаналитических функций, заданных в квазикруге. Мы доказываем, что оператор умножения на некоторую конкретную функцию переводит это пространство на пространство Бергмана, состоящее из аналитических функций.

В докладе будет рассказано о применении теории потоков Морса-Смейла к модели магнитных зарядов в магнитных полях. Будут приведены некоторые достаточные условия существования сепараторов.

Динамика любого омега-устойчивого диффеоморфизма замкнутого многообразия может быть представлена в виде аттрактор-репеллер. Если 3-диифеоморфизм имеет одномерные гиперболические аттрактор и репеллер, то аттрактор (репеллер) является растягивающимся (сжимающимся) и динамика на нем сопряжена со сдвигом обратного предела растягивающего отображения ветвленного 1-многообразия.

Конструкция 3-диффеоморфизма с такой динамикой была впервые предложена Дж. Гиббонсом, который построил диффеоморфизмы с аттрактором и репеллером, являющимися соленоидами Смейла и доказал, что все они не являются структурно устойчивыми (как и все известные обобщения этой конструкции).

Однако, более естественный способ получить одномерный гиперболический аттрактор для 3-диффеоморфизма состоит в том, что некоторый одномерный гиперболический аттрактор на поверхности  умножается на сжатие в трансверсальном к поверхности направлении. Такой аттрактор называется канонически вложенным поверхностным аттрактором, а канонически вложенный поверхностный репеллер получается из него переходом к обратному отображению.Примеры 3-диффеоморфизмов с такими аттрактором и репеллером были недавно построены М. Бариновой, В. Гринесом, О. Починкой.

В докладе речь пойдет о доказательстве того, что все диффеоморфизмы с такой динамикой также не являются структурно устойчивыми.

Обнаружен новый пример псевдогиперболического аттрактора лоренцевского типа в трехмерном отображении Эно с кубическими нелинейными функциями и в потоковой трехмерной системе с кубическими нелинейными функциями.

Обе системы имеют симметрию фазового пространства (x,y,z)->(-x,-y,-z), поэтому аттракторы возникают симметричными парами. Аттракторам принадлежат седловая неподвижная точка в начале координат и седловой цикл периода 2 (в случае дискретного аттрактора отображения Эно), или седловое положение равновесия в начале координат и еще два симметричных седловых положения равновесия (в случае аттрактора потоковой системы).

Псевдогиперболичность аттракторов проверялась численно по построению распредедений углов между сильно устойчивым и центрально-неустойчивым подпространствами траекторий.

Классификация хаотических аттракторов - одна из открытых проблем нелинейной динамики. Решение данной задачи соответствует развитию динамической таксономии, демонстрирующей ключевые свойства, различающие разнообразие хаотического поведения.

Исходя из иерархии хаоса, первоначально предложенной Отто Ресслером, мы систематизировали описание хаотических режимов, наблюдаемых в трехмерных и четырехмерных потоковых системах, охватывая большое количество известных примеров хаоса.

Начав со спектра показателей Ляпунова как первых таксономических рангов, мы расширили описание до более высоких рангов с некоторыми концепциями, унаследованными из топологии.

Динамика любого омега-устойчивого диффеоморфизма замкнутого многообразия может быть представлена в виде аттрактор-репеллер. Если 3-диифеоморфизм имеет одномерные гиперболические аттрактор и репеллер, то аттрактор (репеллер) является растягивающимся (сжимающимся) и динамика на нем сопряжена со сдвигом обратного предела растягивающего отображения ветвленного 1-многообразия.

Конструкция 3-диффеоморфизма с такой динамикой была впервые предложена Дж. Гиббонсом, который построил диффеоморфизмы с аттрактором и репеллером, являющимися соленоидами Смейла и доказал, что все они не являются структурно устойчивыми (как и все известные обобщения этой конструкции).

Однако, более естественный способ получить одномерный гиперболический аттрактор для 3-диффеоморфизма состоит в том, что некоторый одномерный гиперболический аттрактор на поверхности  умножается на сжатие в трансверсальном к поверхности направлении. Такой аттрактор называется канонически вложенным поверхностным аттрактором, а канонически вложенный поверхностный репеллер получается из него переходом к обратному отображению.Примеры 3-диффеоморфизмов с такими аттрактором и репеллером были недавно построены М. Бариновой, В. Гринесом, О. Починкой.

В докладе речь пойдет о доказательстве того, что все диффеоморфизмы с такой динамикой также не являются структурно устойчивыми.

Динамика любого омега-устойчивого диффеоморфизма замкнутого многообразия может быть представлена в виде аттрактор-репеллер. Если 3-диифеоморфизм имеет одномерные гиперболические аттрактор и репеллер, то аттрактор (репеллер) является растягивающимся (сжимающимся) и динамика на нем сопряжена со сдвигом обратного предела растягивающего отображения ветвленного 1-многообразия.

Конструкция 3-диффеоморфизма с такой динамикой была впервые предложена Дж. Гиббонсом, который построил диффеоморфизмы с аттрактором и репеллером, являющимися соленоидами Смейла и доказал, что все они не являются структурно устойчивыми (как и все известные обобщения этой конструкции).

Однако, более естественный способ получить одномерный гиперболический аттрактор для 3-диффеоморфизма состоит в том, что некоторый одномерный гиперболический аттрактор на поверхности  умножается на сжатие в трансверсальном к поверхности направлении. Такой аттрактор называется канонически вложенным поверхностным аттрактором, а канонически вложенный поверхностный репеллер получается из него переходом к обратному отображению.Примеры 3-диффеоморфизмов с такими аттрактором и репеллером были недавно построены М. Бариновой, В. Гринесом, О. Починкой.

В докладе речь пойдет о доказательстве того, что все диффеоморфизмы с такой динамикой также не являются структурно устойчивыми.

Динамика любого омега-устойчивого диффеоморфизма замкнутого многообразия может быть представлена в виде аттрактор-репеллер. Если 3-диифеоморфизм имеет одномерные гиперболические аттрактор и репеллер, то аттрактор (репеллер) является растягивающимся (сжимающимся) и динамика на нем сопряжена со сдвигом обратного предела растягивающего отображения ветвленного 1-многообразия.

Конструкция 3-диффеоморфизма с такой динамикой была впервые предложена Дж. Гиббонсом, который построил диффеоморфизмы с аттрактором и репеллером, являющимися соленоидами Смейла и доказал, что все они не являются структурно устойчивыми (как и все известные обобщения этой конструкции).

Однако, более естественный способ получить одномерный гиперболический аттрактор для 3-диффеоморфизма состоит в том, что некоторый одномерный гиперболический аттрактор на поверхности  умножается на сжатие в трансверсальном к поверхности направлении. Такой аттрактор называется канонически вложенным поверхностным аттрактором, а канонически вложенный поверхностный репеллер получается из него переходом к обратному отображению.Примеры 3-диффеоморфизмов с такими аттрактором и репеллером были недавно построены М. Бариновой, В. Гринесом, О. Починкой.

В докладе речь пойдет о доказательстве того, что все диффеоморфизмы с такой динамикой также не являются структурно устойчивыми.

We apply the concepts of relative dimensions and mutual singularities to characterize the fractal properties of overlapping attractor and repeller in chaotic dynamical systems. We consider one analytically solvable example (a generalized baker’s map); two other examples, the Anosov–Möbius and the Chirikov–Möbius maps, which possess fractal attractor and repeller on a two-dimensional torus, are explored numerically. We demonstrate that although for these maps the stable and unstable directions are not orthogonal to each other, the relative Rényi and Kullback–Leibler dimensions as well as the mutual singularity spectra for the attractor and repeller can be well approximated under orthogonality assumption of two fractals. 

Научный руководитель:

Починка Ольга Витальевна, д.ф.-м.н., профессор НИУ ВШЭ, заведующая Международной лабораторией динамических систем и приложений НИУ ВШЭ.  

Рецензенты:

Гринес Вячеслав Зигмундович, д.ф.-м.н., профессор кафедры фундаментальной математики факультета информатики, математики и компьютерных наук  НИУ ВШЭ – Нижний Новгород, главный научный сотрудник МЛ ДСП, НИУ ВШЭ

Жужома Евгений Викторович, д.ф.-м.н., профессор кафедры фундаментальной математики факультета информатики, математики и компьютерных наук  НИУ ВШЭ – Нижний Новгород, старший научный сотрудник МЛ ДСП, НИУ ВШЭ

Файл (PDF, 223 Кб)

Диссертация (PDF, 28,80 Мб)

Доказательство полиномиальной гипотезы Биркгофа и нескольких ее аналогов (например, для биллиардов в постоянном магнитном поле) принципиально ограничило класс интегрируемых биллиардов без потенциала на плоскости. Тем не менее, переход от таких систем (на плоских столах) к системам на столах-комплексах, склеенных из плоских областей-столов по общим границам (т.е. к системам на биллиардных книжках и топологических биллиардах, введенных В.В.Ведюшкиной) позволяет существенно разнообразить класс слоений Лиувилля и их особенностей, возникающих в классе интегрируемых биллиардов. В докладе будет рассказано о достигнутых результатах и открытых вопросах по гипотезе А.Т. Фоменко о реализации слоений Лиувилля интегрируемых систем различными интегрируемыми биллиардами относительно нескольких естественных эквивалентностей.

Согласно классификации Терстона множество гомотопических классов гомеоморфизмов, заданных на замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной кривизны, разбивается на четыре непересекающихся подмножества. Гомотопический класс из каждого подмножества характеризуется существованием в нем гомеоморфизма, называемого канонической формой Терстона и являющегося в точности одним из следующих типов соотвественно:
периодическим гомеоморфизмом, приводимым непериодическим гомеоморфизмом алгебраически конечного порядка, приводимым гомеоморфизмом, не являющимся гомеоморфизмом алгебраически конечного порядка, псевдоаносовским гомеоморфизмом. Канонические формы Терстона не являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами. Поэтому естественным образом встает задача построения простейших (в определенном смысле) структурно устойчивых диффеоморфизмов в каждом гомотопическом классе.
В каждом гомотопическом классе из первого подмножества А.Н. Безденежных и В.З. Гринес построили градиентно-подобный диффеоморфизм. Р.В. Плыкин и А.Ю. Жиров анонсировали метод построения структурно устойчивого диффеоморфизма в каждом гомотопическом классе из четвертого подмножества. Неблуждающее множество этого диффеоморфизма состоит из конечного числа источниковых орбит и единственного одномерного аттрактора. В настоящей работе описано построение структурно устойчивого диффеоморфизма в каждом гомотопическом классе из второго подмножества. Построенный представитель является диффеоморфизмом Морса-Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечнием.

Резюме доклада (PDF, 260 Кб)

We showcase several typical mechanisms of the onset of chaotic dynamics in neuronal, slow-fast models that occur at transition between activity types.

We give a numerical evidence of the existence of a pseudohyperbolic Lorenz attractor in the extended Lorenz model proposed by Lyubimov and Zaks. This evidence is based on the verification of a Shilnikov criterion providing conditions for the birth of a Lorenz attractor. Also, in this system, we study other types of Lorenz-like attractors, the so-called Rovella attractors, when the saddle equilibrium state whose unstable manifolds form the attractor is contracting. We show that Rovella attractors cannot be pseudohyperbolic despite the continuity of strongly contracting and volume-expanding subspaces on a point of the attractor. This means that stable periodic orbits, which such attractors are pregnant with, appear not via bifurcations of homoclinic tangencies as usual, but due to other mechanism that we explain in the paper. Also we provide a hypothesis for the birth of Rovella attractors attractors from a codimension-two bifurcation. As the Shilnikov criterion, this hypothesis is based on examination of the behavior of only one orbit.

В данном докладе речь пойдёт о так называемых НМС-потоках – потоках Морса-Смейла без неподвижных точек — неособых потоках, которые имеют тесную связь с топологией несущего многообразия. Авторами рассмотрен случай, когда неблуждающее множество состоит ровно из двух периодических орбит. В силу формулы Пуанкаре-Хопфа эйлерова характеристика замкнутого многообразия, допускающего неособый поток, равна нулю. Тогда только две поверхности (тор и бутылка Клейна) допускают рассматриваемые потоки. Для трехмерных многообразий факт равенства нулю эйлеровой характеристики не дает ограничений на несущее многообразие. Оказывается, в случае нескрученных орбит объемлющее многообразие гомеоморфно одному из так называемых линзовых пространств.

Авторами получена полная топологическая классификация НМС-потоков на замкнутых многообразиях в предположении, что неблуждающее множество потока состоит в точности из двух периодических траекторий.

Рассмотрим произвольный полицикл, образованный гиперболическими сёдлами и возмутим его типичным конечно-параметрическим семейством. Вопрос: предельные циклы какой максимальной кратности могут родиться при разрушении данного полицикла?​ Оказывается, что ответ на данный вопрос можно дать в терминах характеристических чисел сёдел, образующих полицикл. Занимательно, что такая задача, сформулированная в терминах динамических систем, приводит к интересной теории, уходящей далеко в коммутативную алгебру.

Доклад будет оперировать лишь терминами простейшего матанализа и динамических систем, поэтому никаких предварительных знаний не потребуется.

Рассмотрим произвольный полицикл, образованный гиперболическими сёдлами и возмутим его типичным конечно-параметрическим семейством. Вопрос: предельные циклы какой максимальной кратности могут родиться при разрушении данного полицикла?​ Оказывается, что ответ на данный вопрос можно дать в терминах характеристических чисел сёдел, образующих полицикл. Занимательно, что такая задача, сформулированная в терминах динамических систем, приводит к интересной теории, уходящей далеко в коммутативную алгебру.

Доклад будет оперировать лишь терминами простейшего матанализа и динамических систем, поэтому никаких предварительных знаний не потребуется.

Given a compact subset K of R^3, one may ask whether it can be realized as a (Lyapunov stable) attractor of a homeomorphism of R^3. In this generality the problem seems extremely complicated. We focus on a class of compacta K called toroidal, which are those that have a neighbourhood basis comprised of solid tori. For instance, generalized solenoids and some wild knots are toroidal. We associate to each toroidal set two topological magnitudes: its genus and its self-geometric index. Very roughly speaking, the first measures the amount of knottedness and the second the amount of winding. If a toroidal set can be realized as an attractor, then these two magnitudes must be finite (in certain sense to be explained). By constructing toroidal sets which violate this finiteness condition we obtain examples of compacta that cannot be realized as attractors of homeomorphisms.

Из определения объемлющей изотопии следует, что она не меняет гомотопический тип замкнутых кривых на многообразии. На языке динамических систем, это означает, что любая дуга в пространстве диффеоморфизмов, соединяющая изотопные диффеоморфизмы с инвариантными замкнутыми кривыми из разных гомотопических классов, обязательно претерпевает бифуркации. В докладе будет описан сценарий, меняющий гомотопический тип замыкания инвариантного многообразия седловой точки полярного диффеоморфизма на двумерном торе на любой заданный гомотопически нетривиальный тип. При этом построенная дуга является устойчивой в пространстве диффеоморфизмов и не меняет класс топологической сопряженности исходного диффеоморфизма. Предложенные в работе идеи построения такой дуги для двумерного тора могут быть естественным образом обобщены на поверхности большего рода.

В докладе будут рассмотрены свойства монотонности топологической энтропии и нидинг-инвариантов для семейств одномерных симметричных отображений лоренцевского типа  с бесконечными производными в точках разрыва. Такие отображения возникают в качестве фактор-отображений в геометрической модели аттрактора Лоренца, предложенной Афраймовичем, Быковым и Шильниковым.

В докладе будет предложен критерий монотонности топологической энтропии и с помощью данного критерия будет аналитически доказано монотонное поведение топологической энтропии и нидинг-инвариантов  в соответствующей области на плоскости параметров для семейства лоренцевских отображений вида Tc,v(x)=(-1+c|x|v)∙sign(x).  Также для семейства отображений Tc,v(x) будет приведена бифуркационная диаграмма на плоскости параметров и дана её интерпретация в терминах динамики системы дифференциальных уравнений, имеющей аттрактор Лоренца.

Сильно нелинейные цепочки и уравнения в частных производных характерны тем, что в них нет линейных волн. Сначала на примере простейших моделей иллюстрируются компактоны (уединенные волны имеющие конечный носитель) в таких системах. Затем обсуждаются волны при полиномиальной нелинейности, как в уравнении Гарднера.

Негладкие системы могут демонстрировать динамику и бифуркации, кардинально отличающиеся от их гладких аналогов. В этом докладе рассматриваются такие гомоклинические бифуркации в кусочно-гладкой системе лоренцевского типа, которая недавно была представлена в работе Belykh et al., Chaos 29, 103108 (2019). С помощью строгого анализа показано, что появление скользящих движений приводит к новому неожиданному бифуркационному сценарию, когда в результате бифуркаций гомоклинических орбит седла с положительной седловой величиной рождаются устойчивые периодические орбиты. Эти бифуркации абсолютно противоположны своим гладким аналогам, которые порождают только неустойчивую (седловую) динамику. Построено отображение Пуанкаре, которое учитывает наличие скользящих движений и строго определяет последовательность скользящих гомоклинических бифуркаций, приводящих к рождению хаотического аттрактора лоренцевского типа. В частности, в явном виде получен скейлинг-фактор для бифуркаций удвоения периода, связанных с многообходными гомоклиническими орбитами и образованием квазистранного аттрактора. Рассмотренные в этом докладе аналитические результаты закладывают основу для развития неклассической теории глобальных бифуркаций в негладких потоках.

В докладе будут рассмотрены свойства монотонности топологической энтропии и нидинг-инвариантов для семейств одномерных симметричных отображений лоренцевского типа  с бесконечными производными в точках разрыва. Такие отображения возникают в качестве фактор-отображений в геометрической модели аттрактора Лоренца, предложенной Афраймовичем, Быковым и Шильниковым.

В докладе будет предложен критерий монотонности топологической энтропии и с помощью данного критерия будет аналитически доказано монотонное поведение топологической энтропии и нидинг-инвариантов  в соответствующей области на плоскости параметров для семейства лоренцевских отображений вида Tc,v(x)=(-1+c|x|v)∙sign(x).  Также для семейства отображений Tc,v(x) будет приведена бифуркационная диаграмма на плоскости параметров и дана её интерпретация в терминах динамики системы дифференциальных уравнений, имеющей аттрактор Лоренца.

Изучаются структура и бифуркации множества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к  неподвижной точке типа сложное седло. Построена бифуркационная диаграмма на плоскости управляющих параметров, которая содержит только одну бифуркационную кривую, отвечающей в точности бифуркациям неподвижной точки. Описано новое бифуркационное явление «скачка гиперболичности», когда, в результате одной только локальной седло-узловой бифуркации неподвижной точки, нетривиальное гиперболическое множество скачком меняет свое местоположение.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях

Доклад состоит из двух частей. Первая часть посвящена символическим методам измерения сложности хаоса в двух канонических системах: Лоренца и Рёсслера. Разработав подходы и методы в первой части, мы сравниваем хаос в исходных моделях с хаосом, симулируемым нейронными сетями, основанными на методе "reservoir computing".

На примере модельных динамических систем, таких как четырехмерная системы Ресслера и модифицированный генератор Анищенко-Астахова, показано, что формирование гиперхаоса связано с развитием хаотического аттрактора Шильникова, содержащего седло-фокус с двумерным неустойчивым многообразием. Возникновение седло-фокуса с двумерным неустойчивым многообразием происходит в результате серии бифуркаций рождения тора. Наличие вторичных бифуркаций Неймарка-Сакера может привести к возникновению иерархии хаотических и гиперхаотических аттракторов.

We study bifurcation mechanisms of the appearance of hyperchaotic attractors in three-dimensional maps. We consider, in some sense, the simplest cases when such attractors are homoclinic, i.e. they contain only one saddle fixed point and entirely its unstable manifold. We assume that this manifold is two-dimensional, which gives, formally, a possibility to obtain two positive Lyapunov exponents for typical orbits on the attractor (hyperchaos). For the realization of this possibility, we propose several bifurcation scenarios of the onset of homoclinic hyperchaos that include cascades of both supercritical period-doubling bifurcations with saddle periodic orbits and supercritical Neimark-Sacker bifurcations with stable periodic orbits, as well as various combinations of these cascades. In the paper, these scenarios are illustrated by an example of three-dimensional Mira map.

Изучается вещественно-аналитическая обратимая гамильтонова система с двумя степенями свободы в окрестности ее симметричного контура, состоящего из симметричного седло-центра, симметричной седловой периодической траектории в том же уровне гамильтониана и пары несимметричных гетероклинических траекторий, переставляемых инволюцией. Существование такой структуры является явлением коразмерности один в классе обратимых гамильтоновых систем.Такие структуры часто встречаются при изучении конкретных гамильтоновых систем из приложений, например, они обнаружены в системе, описывающей бегущие волны в нелокальном уравнении Уизема.

Показано существование двух различных типов таких контуров в зависимости от типа действия инволюции в окрестности седло-центра. Доказан ряд теорем о структуре системы в окрестности контура, показывающих, что поведение системы хаотично как в индивидуальной системе с контуром, так и в однопараметрическом семействе систем при возмущении системы с контуром. В частности, доказаны теоремы о существовании счетных семейств трансверсальных гомоклинических траекторий к седловой периодической траектории, трансверсальных гетероклинических контуров, состоящих из пары симметричных периодических траекторий: ляпуновской и второй, являющейся продолжением по значению гамильтониана симметричной периодической траектории и четырех гетероклинических несимметричных трансверсальных траекторий. На их основе строятся инвариантные гиперболические множества траекторий. Кроме того, доказывается существование счетных семейств эллиптических периодических траекторий общего эллиптического типа, что влечет существование близких к ним инвариантных КАМ торов. Как следствие, получен критерий существования счетного множества значений параметра в общем однопараметрическом семействе обратимых гамильтоновых систем, при которых соответствующая система имеет гомоклиническую траекторию к седло-центру.

В настоящем докладе рассматривается вопрос о взаимоотношении тривиальных и нетривиальных базисных множеств структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей.

В работе В.З. Гринеса и Е.В. Жужомы доказано, что если неблуждающее множество 𝑁𝑊(𝑓) структурно устойчивого диффеоморфизма 𝑓 замкнутого гладкого многообразия 𝑀𝑛 размерности 𝑛≥3 содержит растягивающийся ориентируемый аттрактор Ω коразмерности один, то 1) многообразие 𝑀𝑛 гомотопически эквивалентно n-мерному тору 𝑇𝑛; если 𝑛≠4, то 𝑀𝑛 гомеоморфно 𝑇𝑛; 2) множество 𝑁𝑊(𝑓)/Ω состоит из конечного числа изолированных источников и сёдел. Для случая 𝑛=2 данные утверждение не верны. Именно, несущая поверхность M2 структурно устойчивого диффеоморфизма f, неблуждающее множество 𝑁𝑊(𝑓) которого содержит ориентируемый аттрактор Ω, может являться любой ориентируемой поверхностью, кроме сферы, а множество 𝑁𝑊(𝑓)/Ω может быть устроено гораздо более сложно.

В настоящей работе доказано, что если все тривиальные базисные множества структурно устойчивого диффеоморфизма ориентируемой поверхности 𝑀𝑔2 являются источниковыми периодическими точками 𝛼1,…𝛼k, то неблуждающее множество такого диффеоморфизма состоит из точек 𝛼1,…,𝛼k и в точности одного одномерного аттрактора Λ. Доказано, что если род поверхности 𝑀𝑔2 больше нуля и аттрактор Λ не имеет связок степени 1, то данный аттрактор просторно расположен на поверхности 𝑀𝑔2. Также найдены необходимые условия существования нетривиальных нульмерных базисных множеств у структурно устойчивых диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей.

В настоящем докладе рассматривается вопрос о взаимоотношении тривиальных и нетривиальных базисных множеств структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей.

В работе В.З. Гринеса и Е.В. Жужомы доказано, что если неблуждающее множество 𝑁𝑊(𝑓) структурно устойчивого диффеоморфизма 𝑓 замкнутого гладкого многообразия 𝑀𝑛 размерности 𝑛≥3 содержит растягивающийся ориентируемый аттрактор Ω коразмерности один, то 1) многообразие 𝑀𝑛 гомотопически эквивалентно n-мерному тору 𝑇𝑛; если 𝑛≠4, то 𝑀𝑛 гомеоморфно 𝑇𝑛; 2) множество 𝑁𝑊(𝑓)/Ω состоит из конечного числа изолированных источников и сёдел. Для случая 𝑛=2 данные утверждение не верны. Именно, несущая поверхность M2 структурно устойчивого диффеоморфизма f, неблуждающее множество 𝑁𝑊(𝑓) которого содержит ориентируемый аттрактор Ω, может являться любой ориентируемой поверхностью, кроме сферы, а множество 𝑁𝑊(𝑓)/Ω может быть устроено гораздо более сложно.

В настоящей работе доказано, что если все тривиальные базисные множества структурно устойчивого диффеоморфизма ориентируемой поверхности 𝑀𝑔2 являются источниковыми периодическими точками 𝛼1,…𝛼k, то неблуждающее множество такого диффеоморфизма состоит из точек 𝛼1,…,𝛼k и в точности одного одномерного аттрактора Λ. Доказано, что если род поверхности 𝑀𝑔2 больше нуля и аттрактор Λ не имеет связок степени 1, то данный аттрактор просторно расположен на поверхности 𝑀𝑔2. Также найдены необходимые условия существования нетривиальных нульмерных базисных множеств у структурно устойчивых диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей.

Compactons are studied in the framework of the Korteweg{de Vries (KdV) equation with the sublinear nonlinearity. Compactons represent localized bell-shaped waves of either polarity which propagate to the same direction as waves of the linear KdV equation. Their amplitude and width are inverse proportional to their speed. The energetic stability of compactons with respect to compact perturbations with the same support is proven analytically. Dynamics of compactons is studied numerically, including evolution of pulse-like disturbances and interactions of compactons of the same or opposite polarities. Compactons interact inelastically, though almost restore their shapes after collisions. Compactons play a two-fold role of the long-living solitonlike structures and of the small-scale waves which spread the wave energy.

В настоящей работе рассматривается класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемой поверхности. В работах А.А. Безденежных и В.З. Гринеса показано, что такие диффеоморфизмы имеют конечное число гетероклинических орбит. Кроме того, задача классификации рассматриваемых диффеоморфизмов сведена к проблеме различения ориентируемых графов с подстановками, описывающими геометрию гетероклинического пересечения. Однако, такие графы в общем случае не допускают полиномиальных различающих алгоритмов. В настоящей статье предлагается новый подход к классификации данных каскадов. Для этого каждому рассматриваемому диффеоморфизму ставится в соответствие граф, допускающий построение эффективного алгоритма различения. Выделен класс допустимых графов, каждый класс изоморфности которых реализован диффеоморфизмом поверхности с ориентируемой гетероклиникой. Полученные результаты непосредственно связаны с проблемой реализации гомотопических классов гомеоморфизмов на замкнутых ориентируемых поверхностях. В частности они дают подход к построению представителя в каждом гомотопическом классе гомеоморфизмов алгебраически конечного типа по классификации Нильсена, что является открытой проблемой на сегодняшний день.

В теории динамических систем важным является вопрос: допускает ли некоторое многообразие A-диффеоморфизм ровно с двумя базисными множествами одинаковой размерности и динамикой аттрактор-репеллер? Такой диффеоморфизм автоматически является омега-устойчивым. Не менее сложный вопрос: допускает ли многообразие структурно устойчивый диффеоморфизм с такой динамикой.

Простейшим примером такой системы является диффеоморфизм Морса-Смейла на n-сфере n>0, неблуждающее множество которого состоит ровно из одного стока и одного источника. Эти примеры структурно устойчивы и исчерпывают все возможные диффеоморфизмы с нульмерными аттрактором и репеллером. Нетрудно реализовать диффеоморфизм на n-многообразии (n>2) с аттрактором и репеллером четной размерности 2k<n, как прямое произведение диффеоморфизма Аносова на 2k-торе типа (k,k) на диффеоморфизм источник-сток на (n-2k)-сфере.

С нечетными размерностями аттрактора и репеллера ситуация обстоит сложнее. Например, связная сумма DA-аттрактора и DA-репеллера на 2-торах никогда не является структурно устойчивой [1]. В силу [2], трехмерное многообразие M допускает A-диффеоморфизм f, неблуждающее множество которого состоит из соленоидальных аттрактора и репеллера, тогда и только тогда, когда M — линзовое пространство, при этом f не являются структурно устойчивыми. 

С другой стороны, в работах [3] и [4] построены примеры грубых 3-диффеоморфизмов с одномерными аттрактором и репеллером. Однако предложенные конструкции столь нетривиальны, что не позволяют описать динамику результирующего диффеоморфизма.

В рамках доклада будет предложена альтернативная схема построения структурно устойчивых 3-диффеоморфизмов с одномерными аттрактором и репеллером. Результат получен коллективом российских ученых М.К. Бариновой, В.З. Гринесом, О.В. Починкой в сотрудничестве с китайским математиком Б. Ю.

[1] R. Robinson, R. Williams. Finite Stability is not generic. Academic Press, New York. Dynamical Systems ((Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)), 1973. 451--462.

[2] B. Jiang, Y. Ni, S. Wang. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors. Trans.Amer. Math. Soc. 2005. V. 356 (11), 4371--4382.

[3] C. Bonatti, N. Guelman. Axiom A diffeomorphisms derived from Anosov flows. J. Mod. Dyn. 2010. V. 4 (1), 1--63.

[4]  Y. Shi. Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps. C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2014. V. 352 (9), 743--747.

We consider a time delay system whose excitation parameter is periodically modulated. Each new stage of the excitation is seeded via a delayed feedback from a stage before the last, and due to nonlinearity the seeding arrives with a doubled phase. As a result, the system operates as two coupled hyperbolic chaotic subsystems. Varying the relation between the delay time and the excitation period we affect a coupling strength between these subsystems as well as intensity of the phase doubling mechanism responsible for the hyperbolicity. Due to this, a transition from non-hyperbolic to hyperbolic hyperchaos occurs. The following steps of the transition scenario are revealed and analyzed: (a) an intermittency as alternation of staying near a fixed point and chaotic bursts; (b) wandering between the fixed point and chaotic subset that appears near it; (c) plain hyperchaos without hyperbolicity after termination visiting the fixed point; (d) transformation of hyperchaos to hyperbolic form.

Мы строим автономную систему дифференциальных уравнений низкой размерности с однородно гиперболическим аттрактором типа Смейла-Вильямса в сечении Пуанкаре. Уравнения получаются заменой вещественных переменных комплексными в автоколебательной системе с гомоклиническими петлями седлового положения равновесия. Четырехмерное фазовое пространство системы содержит седло в начале координат. У седла два положительных равных собственных числа и два отрицательных равных собственных числа, при прохождении траектории рядом с седлом угловая переменная (аргумент комплексной переменной) подвергается отображению Бернулли.
Мы называем сделанное нами наблюдение динамики траекторий "рассеянием" на седле. Траектории приближаются к седлу и удаляются от него, при этом в сечении Пуанкаре формируется аттрактор типа Смейла -- Вильямса. Наша модель не описывает конкретный физический процесс, однако по виду близка к уравнениям для комплексных амплитуд, описывающим огибающие волн или пространственные гармоники Фурье распределенной системы.
Мы показываем с помощью численных расчетов, что возникающий хаотический аттрактор действительно близок к соленоиду Смейла-Вильямса. Так же мы приводим несколько других примеров автономных систем с комплексными переменными, в которых аттрактор типа Смейла-Вильямса формируется описанным способом.

Мы покажем, что каждый изотопный симплектоморфизм тождества единичного 2n-мерного шара B²ⁿ на его образе в R²ⁿ
может быть аппроксимирован симплектическим полиномиальным автоморфизмом R²ⁿ, ограниченным B²ⁿ. Мы также доказываем аналогичный результат для симплектоморфизмов кольца Tⁿ раз Rⁿ.

Хаотические слоения обобщают концепцию хаоса по Девани для динамических систем. Характеристика хаотического слоения это его трансверсальность. Проблема существования хаоса на картановом слоении сводится к соответствующей проблеме для его голономных псевдогрупп локальных автоморфизмов трансверсального многообразия.

В работе исследованы хаотические слоения с трансверсальной картановой структурой. картаново (F; X) -слоение (M; F), допускающее связность Эресмана, накрывается локально тривиальным расслоением, и определяется глобальная группа голономии (M; F). В этом случае задача сводится к уровню глобальной голономной группе слоения, которая является счетной дискретной подгруппой группы Ли автоморфизмов некоторого односвязного картанова (F; X) -многообразия. Указаны несколько классов картановых слоений, не допускающие хаоса. Приведены примеры хаотических картановых слоений.

Будут докладываться известные и новые результаты исследования спирального (шильниковского) хаоса в классической трехмерной системе Рёсслера, готовящиеся к публикации в спец. выпуске журнала Хаос, посвященного 80 летию О. Рёсслера.

Мы изучаем солитоны и кавитоны (последние – локализованные решения с особенностями) нелокального (интегро-дифференциального) уравнения Уизема. После однократного интегрирования для поиска решений типа бегущей волны получаем уравнение четвертого порядка с параметром D2 при старшей производной и дополнительным параметром – скоростью бегущей волны.

Нас интересуют его решения, убывающие к нулю на бесконечности по независимой координате. После замены переменных получаем обратимую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, определенную на двулистном накрытии (фактически – две системы), траектории которых переходят друг в друга при пересечении границы – подмногообразия ветвления.

Мы исследуем состояния равновесия на каждом листе и для нулевого состояния равновесия находим и изучаем гомоклинические траектории. В зависимости от значений параметров, это состояние равновесия может быть либо седло-центром, либо седло-фокусом. Мы получаем численно большой зоопарк таких решений. Для случая седло-фокуса мы обнаруживаем бифуркационную кривую, соответствующую гамильтоновой бифуркации Хопфа (переход через не полупростую пару двукратных чисто мнимых собственных значений) и исследуем соответствующую бифуркацию, что позволяет доказать рождение солитонов и кавитонов вблизи точки бифуркации. При малых значениях параметра D2 система становится быстро-медленной гамильтоновой, мы обсуждаем возможность получения гомоклинических решений за счет присутствия второго параметра и формулируем некоторую гипотезу об их существовании.

Мы изучаем разреженные представления и разреженные приближения относительно к избыточным словарям и базам данных. Мы решаем проблему проектирования и анализ жадных методов аппроксимации. Ключевой вопрос в этом вопросевопрос в следующем: Как разработать эффективный алгоритм?

Отвечая на этот вопрос мы рассмотрим различные алгоритмы жадного типа применительно к различным системам. Важным компонентом нашего исследования является то, что мы выполняем наш анализ не только в гильбертовом пространстве, но и в Банаховом пространстве. Известно, что во многих численных задачах пользователи удовлетворяются настройкой гильбертова пространства и делают это не рассматривая более общую настройку в Банаховом пространстве.

Обобщенное логистическое уравнение используется для интерпретации данных эпидемии COVID-19 в нескольких странах: Австрии, Швейцарии, Нидерландах, Италии, Турции и Южной Корее. Рассчитываются коэффициенты модели: темп роста и ожидаемое количество инфицированных людей, а также показатели экспоненты в обобщенном логистическом уравнении.

Показано, что зависимость числа инфицированных людей от времени хорошо описывается в среднем логистической кривой (в рамках простого или обобщенного логистического уравнения) с коэффициентом детерминации, превышающим 0,8. В то же время зависимость количества инфицированных людей в сутки от времени имеет очень неравномерный характер и может быть очень грубо описана логистической кривой. Для его описания необходимо учитывать зависимость коэффициентов модели от времени или от общего числа случаев. Вариации, например, темпов роста могут достигать 60%. Спектры изменчивости коэффициентов имеют характерные пики с периодичностью в несколько дней, что соответствует наблюдаемым последовательным интервалам. Предлагается использовать стохастическое логистическое уравнение для оценки числа вероятных пиков заболеваемости коронавирусом. 

Проблема существования дуги с не более чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса-Смейла) на многообразиях, входит в список пятидесяти задач Палиса-Пью под номером 33.

В 1976 году С. Ньюхаус, Дж. Палис, Ф. Такенс ввели понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии. Такая дуга не меняет своих качественных свойств при небольшом возмущении. В том же году С. Ньюхауз и М. Пейшото доказал существование простой дуги (содержащей только элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Морса-Смейла. Для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях любой размерности, известны примеры систем, которые не могут быть связаны устойчивой дугой.

В этом направлении естественно возникает вопрос о нахождении инварианта, однозначно определяющего класс эквивалентности диффеоморфизма Морса-Смейла относительно отношения связи устойчивой дугой. В докладе дается ответ на вопрос, для чего получены градиентные диффеоморфизмы двумерной сферы. Мы доказываем, что существует счетное множество классов эквивалентности таких систем.

Проблема существования дуги с не более чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса-Смейла) на многообразиях, входит в список пятидесяти задач Палиса-Пью под номером 33.

В 1976 году С. Ньюхаус, Дж. Палис, Ф. Такенс ввели понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии. Такая дуга не меняет своих качественных свойств при небольшом возмущении. В том же году С. Ньюхауз и М. Пейшото доказал существование простой дуги (содержащей только элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Морса-Смейла. Для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях любой размерности, известны примеры систем, которые не могут быть связаны устойчивой дугой.

В этом направлении естественно возникает вопрос о нахождении инварианта, однозначно определяющего класс эквивалентности диффеоморфизма Морса-Смейла относительно отношения связи устойчивой дугой. В докладе дается ответ на вопрос, для чего получены градиентные диффеоморфизмы двумерной сферы. Мы доказываем, что существует счетное множество классов эквивалентности таких систем.

Хорошо известно, что близкое к тождественному аналитическое отображение может быть формально представлено в виде сдвига за единицу времени вдоль траекторий векторного поля. Обычно векторное поле строится в виде ряда по малому параметру. При этом используется сочетание метода усреднений с последовательностью замен координат. В ситуации общего положения ряды расходятся, но ошибка интерполяции может быть сделана экспоненциально малой (теорема Нейштадта).

В этом докладе мы обсудим метод дискретных усреднений, который позволяет провести построения без вовлечения замен координат в терминах взвешенных средних вдоль траекторий отображения. Мы обсудим теорию формальных рядов, приведем новое доказательство теоремы Нейштадта и покажем, как новый метод связан с теорией интерполяций.

Мы исследуем бифуркации трехкратновырожденной периодической траектории с мультипликаторами (-1,i,-i) и показываем, в частности, что эти бифуркации могут приводить к рождению дискретных аттракторов Лоренца. Задача сводится к исследованию потоковой нормальной формы - системы трех дифференциальных уравнений с Z4-симметрией, для которой мы устанавливаем существование как классического аттрактора Лоренца, так и аттрактора Лоренца нового типа (возникающего не в силу перестроек сепаратрис, а благодаря бифукациям седло-узла). Мы также обсуждаем новый тип критериев Шильникова для возникновения аттрактора Лоренца

Мы исследуем бифуркации трехкратновырожденной периодической траектории с мультипликаторами (-1,i,-i) и показываем, в частности, что эти бифуркации могут приводить к рождению дискретных аттракторов Лоренца. Задача сводится к исследованию потоковой нормальной формы - системы трех дифференциальных уравнений с Z4-симметрией, для которой мы устанавливаем существование как классического аттрактора Лоренца, так и аттрактора Лоренца нового типа (возникающего не в силу перестроек сепаратрис, а благодаря бифукациям седло-узла). Мы также обсуждаем новый тип критериев Шильникова для возникновения аттрактора Лоренца.

Мы изучаем геометрические и динамические свойства недавно открытых странных аттракторов новых типов, так называемых дискретных аттракторов Лоренца, которые могут существовать в трехмерных картах-диффеоморфизмах. Мы обсуждаем новые феноменологические сценарии их появления в однопараметрических семействах таких отображений, а также приводим примеры реализации этих сценариев. Особое внимание мы уделяем такому сценарию, который может привести к появлению аттракторов нового типа, так называемых Лоренц-подобных аттракторов периода-2. Эти аттракторы обладают очень интересными динамическими свойствами, и мы показываем, что их кризисы могут привести, в свою очередь, к появлению дискретных аттракторов формы Лоренца новых типов. Мы также показываем примеры всех этих аттракторов в трехмерных обобщенных картах Хенона.

We consider several examples of two-dimensional discrete-time dynamical systems demonstrating overlapping attractor and repeller. These systems are constructed via introducing controllable dissipation to prototypic models with chaotic dynamics (Anosov cat map, Chirikov standard map) and ergodic non-chaotic behavior (skew shift map). We employ the Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance to characterize difference between the attractor and the repeller. This distance is followed for different degrees of the dissipation parameter. 

Уравнениями Пенлеве называются нелинейные алгебраические дифференциальные
уравнения второго порядка которые допускают понятие общего решения (свойство Пенлеве).
Известно что есть шесть типов таких уравнений; P-I,…, P-VI. Уравнения типа P-II,…,P-VI зависят
от некоторых параметров, и соответственно допускают симметрии, называемые преобразованиями
Бэклунда, которые переводят решения одного уравнения Пенлеве в решения другого уравнения
того же типа, но с некоторыми другими значениями параметров. Эти преобразования имеют очень
красивую алгебраическую структуру (структуру афинной группы Вейля) понять которую помогает
геометрический объект (поверхность Окамото начальных условий). Мы рассмотрим эти конструкции
на примерах уравнений P-II и P-IV и посмотрим на некоторые конкретные приложении этих алгебро-
геометрических идей.

Топологическая классификация потоков Морса-Смейла и Омега-устойчивых потоков относительно топологической эквивалентности имеет богатую историю. Известны инварианты Леонтович-Майера, Пейшото, Ошемкова-Шарко, Ньюмана-О'Брайана, Круглова-Малышева-Починки. Предпринимались также попытки классификации таких потоков с точки зрения топологической сопряжённости, в частности, В. Кругловым и О.В. Починкой доказано, что классы топологической эквивалентности и топологической сопряжённости градиентно-подобных потоков на поверхностях совпадают.

Ж. Палисом показано, что наличие сепаратрисы-связки влечёт наличие континуума классов топологической сопряжённости в одном классе топологической эквивалентности, то есть поток имеет модули. Каждый предельный цикл точно также порождает как минимум один модуль, связанный с его периодом. В докладе будет показано, что наличие у потока ячейки, ограниченной двумя предельными циклами, приводит к существованию бесконечного числа модулей устойчивости.

Топологическая классификация потоков Морса-Смейла и Омега-устойчивых потоков относительно топологической эквивалентности имеет богатую историю. Известны инварианты Леонтович-Майера, Пейшото, Ошемкова-Шарко, Ньюмана-О'Брайана, Круглова-Малышева-Починки. Предпринимались также попытки классификации таких потоков с точки зрения топологической сопряжённости, в частности, В. Кругловым и О.В. Починкой доказано, что классы топологической эквивалентности и топологической сопряжённости градиентно-подобных потоков на поверхностях совпадают.

Ж. Палисом показано, что наличие сепаратрисы-связки влечёт наличие континуума классов топологической сопряжённости в одном классе топологической эквивалентности, то есть поток имеет модули. Каждый предельный цикл точно также порождает как минимум один модуль, связанный с его периодом. В докладе будет показано, что наличие у потока ячейки, ограниченной двумя предельными циклами, приводит к существованию бесконечного числа модулей устойчивости.

Рассмотрим следующую задачу. Предположим, что на некотором дискретном наборе точек на прямой, скажем на натуральных числах, задана некоторая весовая функция н мы хотим построить набор многочленов, ортогональных относительно данноговеса. Это можно делать с помощью стандартной процедуры Грама-Шмидта, но она не эффективна.

Более быстрый подход состоит в использовании рекурсивной процедуры, основанной на так называемом трехчленном линейном соотношении. Но  для многих весов коэффициенты этого соотношения сложным образом зависят от  шага рекурсии. Мы рассмотрим один такой пример, где эта зависимость оказывается  заданной дискретным уравнением Пенлеве, и покажем, как общая алгебро-геометрическая теория уравнений Пенлеве помогает эффективно работать с задачами такого типа.

Оказывается, что класс важных прикладных задач, в которых возникают дискретные уравнения Пенлеве, достаточно велик. Одной из целей доклада будет показать, как узнавать и приводить к стандартному виду уравнения этого типа.

Топологическая классификация потоков Морса-Смейла и Омега-устойчивых потоков относительно топологической эквивалентности имеет богатую историю. Известны инварианты Леонтович-Майера, Пейшото, Ошемкова-Шарко, Ньюмана-О'Брайана, Круглова-Малышева-Починки. Предпринимались также попытки классификации таких потоков с точки зрения топологической сопряжённости, в частности, В. Кругловым и О.В. Починкой доказано, что классы топологической эквивалентности и топологической сопряжённости градиентно-подобных потоков на поверхностях совпадают.

Ж. Палисом показано, что наличие сепаратрисы-связки влечёт наличие континуума классов топологической сопряжённости в одном классе топологической эквивалентности, то есть поток имеет модули. Каждый предельный цикл точно также порождает как минимум один модуль, связанный с его периодом. В докладе будет показано, что наличие у потока ячейки, ограниченной двумя предельными циклами, приводит к существованию бесконечного числа модулей устойчивости.

Мы рассмотрим методы вычисления локальных (конечновременных) и мгновенных показателей Ляпунова, матрицы ляпуновской диффузии, ковариантных ляпуновских векторов а также углов между касательными подпространствами. Будут приведены примеры использования характери-стических объектов ляпуновского анализа для исследования хаотической динамики. В частности, будет рассмотрен метод численной проверки гиперболичности и псевдогиперболичности.

Лекция 1: Введение в теорию показателей Ляпунова

Лекция 2: Методы вычисления максимального показателя Ляпунова для непрерывных и дискретных систем

Лекция 3: Методы вычисления спектра показателей Ляпунова для непрерывных и дискретных систем

Лекция 4: Методы вычисления ковариантных ляпуновских векторов

Лекция 5: Численные методы проверки гиперболичности и псевдогиперболичности

Коллапс магнитного поля в окрестности нулевой точки создает большой электрический ток. Движение в окружающей плазме может привести к магнитному перезамыканию магнитных линий, которые играют большую роль при изучении астрофизических явлений. В докладе излагается изящный метод, позволяющий показать, что линейные трехмерные нулевые точки имеют тенденцию к коллапсу с ростом либо spine-тока, либо fan-тока, либо их комбинации. Скорость коллапса определяется для потока несжимаемой плазмы с открытыми граничными условиями.

Хорошо известно, что в размерности два не существует диких дуг. В размерности три такие примеры существуют и они могут быть реализованы как инвариантные множества дискретной динамической системы (например, диффеоморфизм Пикстона), в отличие от регулярных трехмерных потоков, которые не обладают дикими инвариантными множествами. Размерность четыре гораздо богаче, здесь дикие объекты появляются как в дискретной, так и в непрерывной динамике. Несмотря на то, что в этой размерности не бывает диких дуг, существуют дикие объекты коразмерности два. Например, замыкание двумерной седловой сепаратрисы может быть диким для четырёхмерной системы Морса-Смейла (диффеоморфизма или потока). Такие примеры были недавно построены В.С. Медведевым и Е.В. Жужомой. Т.В. Медведев и О.В. Починка показали, что дикая двумерная сфера Артина-Фокса появляется как замыкание гетероклинического пересечения четырехмерного диффеоморфизма Морса-Смейла.
В настоящем докладе будет показано, что надстройка нетривиального диффеоморфизма Пикстона является четырехмерным потоком с дико вложенным трёхмерным инвариантным многообразием периодической орбиты с континуумом точек дикости. Кроме того, будет показано, что существует бесконечное множество различных диких надстроек, а также дана полная классификация надстроек над диффеоморфизмами класса Пикстона.