Обучающий семинар «Топологические методы в динамике»

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Ссылка на запись

В докладе рассмотрены примеры ретрактов деформационных ретрактов (сильных, слабых и в общем смысле) а также доказаны некоторые свойства стягиваемых пространств.

Ссылка на запись

В докладе введены понятия гомотопической эквивалентности, ретракции и деформационного ретракта, а также доказана гомотопическая эквивалентность некоторых простых топологических пространств.

Ссылка на запись

В докладе рассмотрены элементарные свойства гомотопных отображений. 

Ссылка на запись

В докладе вводится понятие гомотопных отображений и рассматриваются простейшие их свойства.

Ссылка на запись

Ссылка на запись

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Запись семинара

Ссылка видео
Запись семинара (PDF, 2,87 Мб)

 Запись семинара (PDF, 3,55 Мб)

Ссылка на видео

Ссылка на видео
 

Запись семинара (PDF, 2,91 Мб)

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Ссылка на видео

Во время семинара были введены такие определения, как относительная топология (она же индуцированная), подпространство. Были рассмотрены некоторые примеры задания индуцированных топологий. Также были рассмотрены некоторые подпространства R³ и R², с целью найти гомеоморфные между собой.

На семинаре были изучены определения гомеоморфизма и примеры гомеоморфных топологических пространств с заданными метриками. Также доказали критерий гомеоморфности топологических пространств.

На семинаре рассматривались следующие понятия: непрерывность отображения, открытые и замкнутые отображения. Изучили и доказали критерий непрерывности. Также на примерах выявили связь биективных, сюръективных и инъективных отображений с открытыми и замкнутыми.

Ссылка на видео

Во время семинара были введены следующие топологические понятия: окрестность и непрерывность отображений. На примерах различных топологических пространств были рассмотрены несколько отображений, которые являются непрерывными в одних пространствах и разрывными в других. Также сформулированы утверждения о связи непрерывности и некоторых топологических пространств (пространства с дискретной и тривиальной топологиями).

Ссылка на видео

На семинаре были изучены различные свойства замыкания, рассмотрена граница топологического пространства. Так же на семинаре ввелось определение окрестности точки.

Ссылка на видео

На семинаре рассмотрены открытые и замкнутые множества топологического пространства. Доказаны теорема о замкнутым и лемма об открытых множествах.

На семинаре разобраны определение и свойства топологических пространств. Рассмотрены различные примеры топологий, а так же изучены метризуемые пространства.

На семинаре доказана основная теорема о гомоморфизмах групп. Для этого было введено понятие групп и изучены их свойства, проиллюстрированные на различных примерах.

Ссылка на видео

На семинаре доказана основная теорема о гомоморфизмах групп. Для этого было введено понятие групп и изучены их свойства, проиллюстрированные на различных примерах.

Ссылка на видео

На семинаре доказана основная теорема о гомоморфизмах групп. Для этого было введено понятие групп и изучены их свойства, проиллюстрированные на различных примерах.

Ссылка на видео

На семинаре доказана основная теорема о гомоморфизмах групп. Для этого было введено понятие групп и изучены их свойства, проиллюстрированные на различных примерах.

Ссылка на видео

На семинаре доказаны основные свойства метрических пространств и изучены непрерывные отображения из одного метрического пространства в другое. Кроме того, были рассмотрены различные метрики и открытые множества, порождаемые ими.

Ссылка на видео

Введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на замкнутом многообразии. Найдены необходимые и достаточные условия принадлежности одному классу устойчивой изотопической связности для диффеоморфизмов Морса-Смейла на окружности.

Введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на замкнутом многообразии. Найдены необходимые и достаточные условия принадлежности одному классу устойчивой изотопической связности для диффеоморфизмов Морса-Смейла на окружности.

Изучены гомеоморфизмы на окружности. Введено число вращения для сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружности и выведены его свойства. Дана классификация орбит в случае гомеоморфизма с рациональным числом вращения.

Ссылка на видео

Изучены базовые понятия обратимых отображений на прямой. Введено понятие диаграммы Ламерея — геометрической интерпретации поведения динамической системы. Рассмотрены элементы однопараметрического бифуркационного анализа, а именно бифуркация удвоения периода и седло-узловая бифуркация.

Ссылка на видео

Рассматривается заполненный тор, или полноторий. По аналогии с тором, производится классификация узлов на заполненном торе в гомотопическом и топологическом смысле. А именно, перечисляются гомотопические классы, выявляются условия объемлющей изотопии и эквивалентности посредством объемлющего гомеоморфизма узлов на полнотории.

Ссылка на видео

Рассматривается заполненный тор, или полноторий. По аналогии с тором, производится классификация узлов на заполненном торе в гомотопическом и топологическом смысле. А именно, перечисляются гомотопические классы, выявляются условия объемлющей изотопии и эквивалентности посредством объемлющего гомеоморфизма узлов на полнотории.

Ссылка на видео

Рассматривается заполненный тор, или полноторий. По аналогии с тором, производится классификация узлов на заполненном торе в гомотопическом и топологическом смысле. А именно, перечисляются гомотопические классы, выявляются условия объемлющей изотопии и эквивалентности посредством объемлющего гомеоморфизма узлов на полнотории.

Ссылка на видео

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

Ссылка на видео

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

Ссылка на видео

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

Ссылка на видео

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

Ссылка на видео

На семинаре рассматриваются свойства гомоморфизма группы Atu(T²) - гомеоморфизмов тора на себя и группы GL(2,Z) целочисленных матриц, обратимых над целыми числами. Основным фактом является изоморфность группы Aut(T²) профакторизованой по отношению объемлющей изотопии и группы GL(2,Z), что влечет цепочку следствий: два гомеоморфизма тора объемлюще изотопны <=> они имеют одинаковые матрицы <=> они гомотопны как отображения.

Ссылка на видео

Ссылка на видео

В данном докладе будут рассмотрены базовые гомеоморфизмы тора, скручивания. Основным фактом является теорема, утверждающая, что любой нетривиальный узел эквивалентен стандартному меридиану. А также теоремы, классифицирующие узлы на торе с точностью до эквивалентности и до объемлющей изотопии.

Ссылка на видео

Доклад посвящён свойствам меридиана тора. Будет доказана теорема о том, что любые два узла из класса меридиана объемлюще изотопны.

Ссылка на видео

В данном докладе будет доказана теорема о том, что элемент <a,b> из фундаментальной группы тора представляет вложение окружности тогда и только тогда, когда либо a=b=0 либо f и b взаимно простые. Рассмотрено накрытие тора плоскостью без точки и доказана лемма о том, что существует объемлющая изотопия тора, переводящая 2 непересекающихся узла из класса <0,1> друг в друга.

В данном докладе будет доказана теорема о том, что элемент <a,b> из фундаментальной группы тора представляет вложение окружности тогда и только тогда, когда либо a=b=0 либо f и b взаимно простые. Рассмотрено накрытие тора плоскостью без точки и доказана лемма о том, что существует объемлющая изотопия тора, переводящая 2 непересекающихся узла из класса <0,1> друг в друга.

Ссылка на видео

В данном докладе будут даны необходимые теоретические факты для изучения гомотопических классов узлов на торе. Рассмотрено универсальное накрытие тора, показана связь действия группы скольжений на плоскости и фундаментальной группы тора.

На этом семинаре мы выведем несколько следствий из утверждения, доказанного в предыдущий раз. Особое внимание будет уделено эквивалентности узлов, лежащих в плоскости, в трёхмерном пространстве. Также будет доказана теорема о хорде в более общей, чем она была приведена на предыдущем семинаре, формулировке; а также приведён контрпример для случая, когда n не является натуральным числом.

Сылка на видео

На этом семинаре мы выведем несколько следствий из утверждения, доказанного в предыдущий раз. Особое внимание будет уделено эквивалентности узлов, лежащих в плоскости, в трёхмерном пространстве. Также будет доказана теорема о хорде в более общей, чем она была приведена на предыдущем семинаре, формулировке; а также приведён контрпример для случая, когда n не является натуральным числом.

Ссылка на видео

Одна из теорем, которую нам предстоит доказать – теорема о хорде, утверждающая, что для любого отрезка С с концами в линейно-связном множестве X и для любого натурального числа n найдётся другой отрезок с концами в X параллельный С и длины 1/n от длины С.

Будет показано, что утверждение о том, что замкнутый гомеоморфный образ прямой делит плоскость на две части, эквивалентно теореме о жордановой кривой. Также приведём идею доказательства этого факта.

Ссылка на видео

Будут рассмотрены некоторые следствия теоремы о кольце, доказанной на предыдущем семинаре. В первую очередь нас будет интересовать теорема об изотопической эквивалентности любых двух узлов на двумерной сфере. Также будет рассмотрены утверждения о классификации зацеплений на плоскости и на сфере, которое будет использовано при доказательстве теоремы. В конце будет рассмотрено утверждение, модифицирующее основную теорему. Оказывается, изотопия, реализующая эквивалентность узлов на сфере, может быть задана так, что её носителем является заданная окрестность замкнутого кольца между данными узлами (в предположении, что эти узлы не пересекаются). Аналогичные факты так же будут доказаны и для плоскости.

Ссылка на видео

Доклад полностью посвящён доказательству теоремы о кольце, утверждающей, что замыкание области, ограниченной двумя непересекающимися узлами на плоскости такими, что один лежит в диске, ограниченным другим, гомеоморфно стандартному кольцу. Доказательство будет опираться на теорему Шёнфлиса и на утверждение о том, что для любых двух узлов существую дуги с концами на этих узлах и чьи внутренности не пересекаются друг с другом и с самими узлами.

Ссылка на видео

Будут рассмотрены теоремы Жордана и Шёнфлиса (без доказательства). Особое внимание будет уделено следствиям, получаемым из них: эквивалентность любых двух узлов на плоскости и двумерной сфере и эквивалентность любых дуг на этих поверхностях. Помимо этого, будет рассмотрена и применена лемма Александера о продолжении гомеоморфизма с границы диска на его внутренность. Помимо этого будут рассмотрены классические объекты и конструкции, такие как узел трилистник, озёра Ваада и другие.

В данном докладе будут рассмотрены основные определения теории узлов и зацеплений такие как: узел, зацепление; эквивалентность, эквивалентность через отображение, ориентированная эквивалентности и изотопическая эквивалентность узлов, а также рассмотрена связь между этими определениями.

В данной лекции будут рассмотрены основные понятия общей и алгебраической топологии, а также рассмотрена связь задач из теории узлов с различными разделами математики, в том числе и качественной теорией динамических систем.

Для поворота с иррациональным числом вращения будет доказано, что если отображение транзитивно, тогда оно сопряжено чистому повороту окружности с тем же числом вращения, иначе оно полусопряжено такому повороту. Будет рассмотрен пример Данжуа. Будет доказана теорема о непрерывной зависимости числа вращения от гомеоморфизма окружности.

Будет рассмотрен сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения. Будет доказано, что для такого отображения омега-предельное множество любой точки окружности не зависит от точки и является либо всей окружностью, либо канторовским множеством. Также будет доказано, что если отображение транзитивно, тогда оно сопряжено чистому повороту окружности с тем же числом вращения, иначе оно полусопряжено такому повороту.

Будет дана классификация орбит в случае гомеоморфизма с рациональным числом вращения. Будет доказана теорема Пуанкаре о полусопряжённости каскадов, задаваемых гомеоморфизмом с иррациональным числом вращения и чистым поворотом.

Будет введено число вращения для сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружности и выведены его свойства. Будет дана классификация орбит в случае гомеоморфизма с рациональным числом вращения. Будет доказана теорема Пуанкаре о полусопряжённости каскадов, задаваемых гомеоморфизмом с иррациональным числом вращения с чистым поворотом.

Отображения окружности принципиально отличаются от отображений прямой разнообразием предельных множеств. Одним из важнейших инвариантов гомеоморфизма окружности является число вращения Пуанкаре. В рамках семинара это понятие будет введено и будут доказаны его основные свойства.

Подведена мотивация изучения дискретных динамических систем (каскадов). Изучены базовые понятия обратимых отображений на прямой, проиллюстрированы отличия потоков от каскадов. Введено понятие диаграммы Ламерея -- геометрической интерпретации поведения динамической системы. Введено понятие и получен критерий структурной устойчивости диффеоморфизма прямой.  

Введено, восходящее к А.А. Андронову понятие грубого векторного поля. Для векторных полей в ограниченной части  прямой установлен критерий грубости гладкого векторного поля, состоящий в конечности и гиперболичности состояний равновесия. Для доказательства критерия применена классическая теорема Сарда. Результаты обобщены на векторные поля на окружности.

Изложен подход к решению автономных дифференциальных уравнений, приводящий к к общему понятию динамической системы.  Введено понятие интегральных кривых, траекторий, фазового и объемлющего пространства, состояний равновесия, их гиперболичности. Дан геометрический подход к решению дифференциальных уравнений первого порядка.