В лаборатории динамических систем и приложений ВШЭ нашли способ решить дифференциальное уравнение, считавшееся неразрешимым (в квадратурах) с 19 века

Старший научный сотрудник ВШЭ Нижний Новгород и ИППИ РАН, докторант механико-математического факультета МГУ Иван Ремизов нашёл способ выразить решение y(x) обыкновенного дифференциального уравнения a(x)y''+b(x)y'+c(x)y(x)=g(x) через его коэффициенты - произвольные функции a,b,c,g. Решение даётся в виде явной формулы, содержащей a,b,c,g в качестве параметров. Ещё в 19 веке стало ясно, что задача эта совершенно безнадёжная, если в качестве допустимых действий над a,b,c,g использовать только элементарные функции и интегрирование. Получаемые при этом способы представления решения называются решениями в квадратурах и есть уравнения, решения которых в квадратурах не выражаются. Ремизов добавил к списку допустимых операций предел при n, стремящемся к бесконечности, и благодаря этому смог получить искомую формулу. Результаты опубликованы во Владикавказском математическом журнале 29 декабря 2025.

Школьный пример

Для иллюстрации полученного научного результата начнём с примера, которому уделяется много внимания в 8 и 9 классе средней школы: с квадратного уравнения. 

Обсуждаемая в опубликованной 29 декабря 2025 работе И.Д.Ремизова ситуация похожа на известное со школы выражение вещественного решения квадратного алгебраического уравнения ax²+bx+c=0 через вещественные числа a,b,c. А именно, если число D=b²-4ac неотрицательно, то неизвестное вещественное число x может принимать два значения x₁=(-b+√D)/2a, x₂=(-b-√D)/2a. При этом были использованы следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, вычисление квадратного корня. Если же число D=b2-4ac отрицательно, то никакое вещественное число x не сделает равенство ax²+bx+c=0 верным. Таким образом, ситуация очень простая: когда решение существует, оно выражается через коэффициенты уравнения короткой формулой.

Ситуация становится гораздо интереснее и сложнее, когда a,b,c это не числа, а функции. В этом случае символ а обозначает уже не число, а способ сопоставления одних чисел другим числам. Например, если a(x)=sin x,  то коэффициент a принимает значение sin. Можно записывать уравнения, коэффициенты которых - функции, и решения которых - тоже функции. При этом по-прежнему актуальна задача выразить решение уравнения через его коэффициенты с помощью какой-нибудь формулы аналогично тому, как это сделано в простом примере выше. 

Если дана какая-то функция, то в результате дифференцирования по ней можно построить другую функцию, которая называется производной исходной функции. Символ y' традиционно обозначает первую производную функции у, а символ y'' обозначает производную от y', то есть, вторную производную функции у. Это - постфиксная запись, в ней обозначающий дифференцирование символ пишется после символа, обозначающего функцию. Но возможна и префиксная запись, когда символ дифференцирования пишется до функции. Часто в качестве этого символа используют букву ∂, по определению полагая y' = ∂y, y'' = ∂∂y = ∂²y. Если в выражение ax2+bx+c подставить x=∂, то получим дифференциальный оператор a∂2+b∂+c, в котором a,b,c - функции. Если применить этот дифференциальный оператор к функции y, получим новую функцию (a∂2+b∂+c)y = ay'' + by' +cy. 

В уравнении ax2+bx+c=0 мы знаем числа a,b,c и ищем такое число х, что число ax2+bx+c равно известному числу - нулю. Можно было бы рассматривать более общее уравнение ax2+bx+c=g, где g - некоторое известное число, но это уравнение легко сводится к тому же самому виду: ax2+bx+c₁=0 при с₁=с-g. Это уравнение называется алгебраическим уравнением, потому что для его записи используются алгебраические операции: сложение и умножение. Если перейти от чисел к функциям, и добавить операцию дифференцирования, то соответствующее дифференциальное уравнение ay'' + by' +cy = g к виду ay'' + by' +c₁y=0 уже не приводится, потому что слева функция c умножается на функцию y, а справа функция g на функцию у не умножается. Это - ещё одна сложность, возникающая, когда мы переходим от алгебраического уравнения к дифференциальному.

Тем не менее, мы по-прежнему можем стремиться к той же цели: выразить решение уравнения через его коэффициенты.

Постановка задачи, которую удалось решить

В уравнении a(x)f''(x) + b(x)f'(x) + c(x)f(x)=g(x) переменная х пробегает всю вещественную прямую, и требуется по известным ограниченным вещественным функциям a,b,c,g найти неизвестную ограниченную вещественную функцию f, имеющую две ограниченные непрерывные производные и удовлетворяющую уравнению.

Исторической контекст: ещё Лиувилль в 1834 году знал, что нет смысла пытаться 

Если коэффициенты a,b,c,g постоянные, то это стандартная задача из задачника А.Ф.Филиппова по дифференциальным уравнениям, а если переменные, то общих методов точного решения таких уравнений не существует, как следует из теории Пикара-Вессио. Основы этой теории были заложены в 1883-1910 годах в работах французских математиков Эмиля Пикара и Эрнеста Вессио. В дальнейшем теория дорабатывалась и расширялась, но главный результат теории оставался неизменным: линейное дифференциальное уравнение разрешимо в квадратурах тогда и только тогда, когда разрешима дифференциальная группа Галуа этого уравнения. Решить уравнение в квадратурах значит выразить решение уравнения через его коэффициенты, используя в качестве допустимых действий арифметические операции (+, -, ⋅, /), элементарные функции (например, x^a, e^x, sin x, ln x и другие) и вычисление интеграла.

Известно понятие решения в обобщённых квадратурах, которое аналогично понятию решения в квадратурах, но с добавлением ещё одного допустимого действия: решения алгебраических уравнений. Первые результаты по разрешимости в обобщённых квадратурах (для случая g=0)  были получены французским математиком Жозефом Лиувиллем в 1833-1834 годах, а затем в 1910 году расширены усилиями русского математика Дмитрия Мордухай-Болтовского до теоремы, известной как критерий Лиувилля и Мордухай-Болтовского. 

По итогу имеем следующее: при некоторых a,b,c,g выразить решение f уравнения a(x)f''(x) + b(x)f'(x) + c(x)f(x)=g(x) через a,b,c,g в квадратурах или обобщённых квадратурах можно, при некоторых - нельзя, и вокруг этого имеется интересная теория, в которой ключевую роль играют формулы, задающие функции a,b,c,g, т.е. действия с числами, при выполнении которых из числа х можно получить числа a(x),b(x),c(x),g(x). Ещё в 19 веке Лиувилль построил примеры функций a,b,c,g, для которых f не может быть выражено через a,b,c,g даже в обобщённых квадратурах. Таким образом, задача поиска формулы, выражающей функцию f через функции a,b,c,g при всех a,b,c,g, т.е. вообще без опоры на то, какие формулы использовались для задания a,b,c,g, безнадёжно неразрешима 190 с лишним лет.   

Что удалось сделать в наши дни

И.Д.Ремизов научился выражать сколь угодно точные аппроксимации (приближения) к f в виде явных формул, содержащих a,b,c,g в качестве параметров. То есть, добавил к списку допустимых операций "предел по n при стремящемся к бесконечности n". В этом случае решение записывается как предел аппроксимаций к решению, а каждая аппроксимация получается из коэффициентов a,b,c,g с помощью конечного числа элементарных функций и интегрирования, и задаётся явной не очень длинной формулой.

Причём метод хорош тем, что не требует больше ничего, кроме самих этих коэффициентов. Широко распространённые сеточные методы приближённого решения таких уравнений не дают явных формул, плюс требуют подать им на вход значение искомой функции и её производной хотя бы в одной точке, тогда могут приближённо найти и в других точках. А найденному И.Д.Ремизовым методу не нужно никаких "стартовых" значений, только сами коэффициенты уравнения.

Ещё существуют вероятностные (стохастические) методы, но они дают ответ лишь с некоторой вероятностью, которую, однако, можно сделать сколь угодно близкой к 1. Именно этот класс методов идейно наиболее близок к полученным Ремизовым результатам, так как тоже опирается на такие разделы математики, как функциональный анализ и полугруппы операторов. Однако, никакой вероятности нет ни в предлагаемых Ремизовым формулах, ни в их доказательствах. Всё строго (на 100%, а не на 99.99%), и, более того, даже найдены оценки на скорость сходимости аппроксимаций к точному решению. А именно, доказано, что с ростом n ошибка убывает обратно пропорционально числу n.

Формула, выражающая решение уравнения через его коэффициенты

Ремизов предлагает немного переписать уравнение: вместо a(x)f''(x) + b(x)f'(x) + c(x)f(x)=g(x) писать a(x)f''(x) + b(x)f'(x) + (c(x) - λ)f(x)=-g(x), где положительное число λ известно. Это ничего не меняет принципиально, но упрощает запись формулы для решения. Если функции a,b,c ограничены и имеют ограниченную первую и вторую производные, функция g ограничена и равномерно непрерывна, инфимум функции а больше нуля, супремум функции с меньше λ, то решение f указанного выше уравнения существует и единственно среди ограниченных функций с ограниченной первой и второй производными. Это решение и выражается через коэффициенты уравнения.

Вот что получается в итоге:



имеет решение 



Результаты опубликованы во Владикавказском математическом журнале 29 декабря 2025. Этот российский научный журнал с 2024 года быстро набирает популярность у отечественных учёных и за рубежом.

Зачем это нужно и где может быть применено

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка - один из базовых объектов высшей математики, такие уравнения часто используются для моделирования процессов в физике, химии, технике, экономике, для описания широкого круга явлений. Полученный результат относится к фундаментальной математике, и лишь время покажет, в какой области науки и техники созданный инструмент окажется наиболее полезным.

Но некоторые возможные приложения видны уже сейчас. Во-первых, метод вносит вклад в теорию Флоке. Во-вторых, метод даёт новые формулы для вычисления специальных функций Матье, Хилла и других, задаваемых уравнениями второго порядка. Вот примеры этих уравнений:

• Уравнение Матье y'' + (a - 2q·cos(2x))·y = 0, в котором a, q это такие вещественные числа, что коэффициент при y отрицательный.
• Уравнение Хилла (частный случай) y'' + p(x)·y = 0, где p(x) — периодическая функция.
• Уравнение с гауссовым потенциалом y'' - (a + e^{-x²})·y = 0, где a>0.
• Уравнение с гиперболическим секансом y'' - (1 + sech(x))·y = 0.
• Уравнение с рациональным ограниченным коэффициентом, например y'' + (1/(1+x²))·y = 0  

Для метода, найденного Ремизовым, важно привести уравнение к виду, в котором коэффициент при у меньше некоторой отрицательной константы. Вы можете сами создавать такие примеры по следующей схеме:

• Выберите любую неотрицательную ограниченную функцию f(x) (например, cos(2x), e^{-x²}, sech(x), 1/(1+x²)), для которой известно, что уравнение y'' + f(x)·y = 0 не интегрируется в квадратурах.
• Задайте коэффициент в виде q(x) = -C - f(x), где C > 0 — константа.
• При таком выборе коэффициент q(x) будет всегда меньше -C (или равно -C - max(f(x))), то есть строго отрицателен и ограничен сверху отрицательным числом.

Во всех примерах неразрешимость в квадратурах следует из дифференциальной теории Галуа. Для уравнений вида y'' + q(x)y = 0 разрешимость зависит от алгебраической структуры функции q(x). Если q(x) является "достаточно сложной" трансцендентной функцией (как в примерах), то группа Галуа уравнения неразрешима, что означает отсутствие представления общего решения через элементарные функции, их интегралы и алгебраические операции. Замена переменной f(x) = - C q(x) не меняет этот фундаментальный факт.

С культурной точки зрения ценность представляет как минимум сам факт того, что начатый в 19 веке классиками науки диалог всё ещё продолжается с участием учёных - наших современников, и в нём всё ещё звучат новые идеи, всё ещё находятся новые формулы и подходы.