• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Topology

2019/2020
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
5
ECTS credits

Программа дисциплины

Аннотация

При изучении курса студенты знакомятся с основными понятиями топологии, такими как фундаментальная группа топологического пространства, гомотопическая эквивалентность и клеточные разбиения топологических пространств, а также приложениями. Усвоению материала способствует решение многочисленных упражнений и задач.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Изучение основ топологии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения топологических задач. Формирование у студентов представления о топологии как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • В результате освоения дисциплины студент должен: • Знать основные определения и результаты (теоремы) изучаемых разделов топологии. • Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи изучаемых разделов. • Иметь навыки (приобрести опыт) применения топологических методов в смежных теоретических и прикладных областях.
  • В результате освоения студент должен знать основные понятия и теоремы раздела и уметь применять полученные знания к решению задач.
  • Уметь доказывать и применять теорему Брауэра о неподвижной точке. Иметь представление о гипотезе Пуанкаре и ее решении Георгием Перельманом.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Фундаментальная группа топологического пространства
    Гомотопическая эквивалентность отображений - отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных отображений двух топологических пространств. Связная гомотопия. Гомотопия путей. Произведение гомотопических классов путей: определение и доказательство его корректности. Фундаментальная группа топологического пространства. Примеры стягиваемых пространств. Изоморфность фундаментальных групп в различных точках линейно связного топологического пространства. Фундаментальная группа произведения топологических пространств. Накрывающие пространства. Примеры. Доказательство Леммы Лебега о непрерывных отображениях компактных метрических пространств. Доказательство теоремы о накрывающих путях. 8. Вычисление фундаментальной группы окружности с помощью накрывающего пространства. Фундаментальные группы тора и цилиндра. Гомоморфизмы фундаментальных групп при непрерывных отображениях и их свойства.
  • Топологическая и гомотопическая эквивалентность топологических пространств
    Гомотопическая эквивалентность топологических пространств и ее связь с топологической эквивалентностью. Инвариантность фундаментальной группы при гомотопической эквивалентности. Сравнение топологических и гомотопических инвариантов. Клеточные пространства (или CW-комплексы). Примеры. Теорема о фундаментальной группе клеточного пространства и ее применение к вычислению фундаментальных групп замкнутых поверхностей. n-мерные сфероиды и их произведение. Гомотопические группы высших порядков и их свойства. Теорема о нахождении первой нетривиальной гомотопической группы топологического пространства.
  • Применение гомотопической топологии
    Ретракция. Примеры. Поведение фундаментальной группы при ретракции. Доказательство того, что сфера, рассматриваемая как граница шара, не является его ретрактом. Доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. Гипотеза Пуанкаре и ее решение Георгием Перельманом.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий Устно-письменный экзамен. Решение задачи представляется в письменном виде.
    Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.25 * коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Устно-письменный экзамен. Решение задачи представляется в письменном виде.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2-е изд., испр., 307 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2016
  • Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, под общ. ред. акад. А. Т. Фоменко, 409 с., Мищенко, А. С., Соловьев, Ю. П., Фоменко, А. Т., 2016
  • Топология для младшекурсников, [учебник], 159 с., Васильев, В. А., 2014
  • Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, 2-е изд., испр. и доп., 358 с., Прасолов, В. В., 2014

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Прасолов В.В. — Задачи по топологии - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - ISBN: 978-5-4439-3009-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/80151