• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Computer Workshop on Numerical Methods

2022/2023
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
7
ECTS credits
Delivered at:
Department of Applied Mathematics and Informatics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))
Course type:
Compulsory course
When:
1 year, 3, 4 module

Instructor

Программа дисциплины

Аннотация

Курс направлен на формирование у студентов практических навыков решения задач линейной алгебры и математического анализа с использованием инструментария численных методов. В качестве среды разработки выбрана экосистема языка Python.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Повторение, закрепление и расширение знаний по различным разделам курсов "Математический анализ" и "линейная алгебра".
  • Получение навыка численного решения задач указанных двух математических дисциплин в тех случаях, когда аналитическое решение отсутствует или затруднительно.
  • Получить представление о том, как абстрактные математические понятия используются для решения реальных задач.
  • Подготовка к освоению дисциплин, посвященных анализу данных.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Формулировать сущность и различия двух основных способов представления действительных чисел в памяти компьютера: с фиксированной точкой и с плавающей точкой
  • Оценивать погрешность основных операций при использовании чисел с плавающей точкой различного размера
  • Называть причины потери значащих цифр (loss of significance)
  • Оценивать устойчивость работы алгоритма
  • Конструировать алгоритмы, устойчивые к накоплению погрешности
  • Формулировать алгоритм Кахана
  • Формулировать постановку задачи интерполяции
  • Записывать вид многочлена Ньютона
  • Записывать вид многочлена Лагранжа
  • Реализовывать многочлены Ньютона и Лагранжа в виде программного кода
  • Называть определения сплайна, дефекта, степени и гладкости сплайна
  • Строить многочлены Лежандра как результат применения процедуры Грама-Шмидта к наивному полиномиальному базису
  • Находить аппроксимацию функции в виде ряда функций Лагранжа
  • Аппроксимировать функции методом наименьших квадратов
  • Называть основные методы численного дифференцирования, сравнивать их между собой
  • Оценивать погрешность численного дифференцирования
  • Реализовывать алгоритмы численного дифференцирования в виде программного кода
  • Формулировать формул Ньютона-Котеса
  • Реализовывать методы трапеций, прямоугольников, Симпсона в виде программного кода
  • Оценивать погрешности квадратурных формул
  • Формулировать квадратурные формулы наивысшей степени точности
  • Вычислять кратные интегралы
  • Реализовывать методы дихотомии, простой итерации, Ньютона и установления в виде программного кода для решения прикладных задач
  • Вычислять произведения векторов и матриц
  • Осуществлять быстрое умножение разреженных матриц на векторы
  • Находить нормы векторов и матриц
  • Нахождение собственных чисел матрицы с помощью кругов Гершгорина, QR-алгоритма и степенного метода
  • Приводить квадратичную форму к диагональному виду
  • Проверять квадратичную форму на положительную определенность/неопределенность
  • Применять прямые и итерационные методы решения СЛАУ
  • Формулировать сингулярное разложение матрицы
  • Находить сингулярные разложения матрицы
  • Вычислять малоранговые приближения матриц
  • Применять малоранговые приближения матриц к практическим задачам
  • Интерполировать двумерные данные в виде сплайнов
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Представление действительных чисел в памяти компьютера
  • Интерполирование и аппроксимация функций
  • Численное дифференцирование и интегрирование
  • Решение нелинейных алгебраических уравнений и их систем
  • Векторы и матрицы
  • Собственные числа матрицы
  • Квадратичные формы
  • Системы линейных уравнений
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Представление действительных чисел в памяти компьютера
  • неблокирующий Сплайны
    При выполнении лабораторной работы студенты должны будут разработать программу, осуществляющую интерполяцию данных с помощью кубического сплайна дефекта 1. Также студентам нужно будет найти точку пересечения сплайнов и, если сплайны не пересекаются, то минимальное расстояние между ними.
  • неблокирующий Интерполяция и аппроксимация
  • неблокирующий Численное дифференцирование и интегрирование
  • неблокирующий Векторы и матрицы
  • неблокирующий Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений
  • неблокирующий Квадратичные формы
  • неблокирующий Собственные векторы и значения
  • неблокирующий Сингулярное разложение матрицы и его приложения
  • неблокирующий Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки)
    Моделирование динамики пневмооболочки с использованием нелинейных алгебраических уравнений
  • неблокирующий Численное интегрирование
  • неблокирующий Собственные числа (QR-алгоритм)
  • неблокирующий Итоговый тест
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2022/2023 учебный год 4 модуль
    0.1 * Сплайны + 0.037 * Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений + 0.037 * Численное дифференцирование и интегрирование + 0.1 * Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки) + 0.037 * Представление действительных чисел в памяти компьютера + 0.037 * Векторы и матрицы + 0.037 * Собственные векторы и значения + 0.304 * Итоговый тест + 0.037 * Интерполяция и аппроксимация + 0.1 * Собственные числа (QR-алгоритм) + 0.037 * Сингулярное разложение матрицы и его приложения + 0.1 * Численное интегрирование + 0.037 * Квадратичные формы
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Введение в численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Гулин А.В.,Мажорова О.С.,Морозова В.А.-М.:АРГАМАК-МЕДИА,НИЦ ИНФРА-М,2019- 368с.:- (Прикладная математика, информатика, информ.технологии) - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/1032671
  • Вычислительная математика : учебник для вузов, Жидков, Е. Н., 2013
  • Кетков Ю. MATLAB 7. Программирование, численные методы / Ю. Кетков, А. Кетков, М. Шульц. - Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2010. - 752 с. - ISBN 978-5-94157-347-9. - URL: https://ibooks.ru/bookshelf/18423/reading (дата обращения: 12.10.2020). - Текст: электронный.
  • Семакин И.Г., Русакова О.Л., Тарунин Е.Л. - Программирование, численные методы и математическое моделирование - КноРус - 2021 - ISBN: 978-5-406-08626-1 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/940464
  • Численные методы, учебное пособие, МГУ им. М. В. Ломоносова, 6-е изд., 636 с., Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельников, Г. М., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Русина Л. Г. - Вычислительная математика. Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений и систем - Издательство "Лань" - 2021 - ISBN: 978-5-8114-5518-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/156403