Delivered at:: Department of Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1, 2 module

Instructors

Bespalov, Peter A.

Kirikov, Sergey

Misonova, Vera

Shaposhnikov, Vladimir

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина “Алгебра и геометрия” дает возможность овладеть основами линейной алгебры и приобрести навыки использования ее универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов при построении математических моделей различых экономических закономерностей и процессов, при описании динамики социально–экономических систем прогнозирования развития экономики. Освоение данной дисциплины обеспечит выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание необходимыми общими и предметно-специализированными компетенциями, что, несомненно, будет способствовать его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в избранной сфере деятельности.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины “Алгебра и геометрия” являются овладение основами линейной алгебры, приобретение навыков использования ее универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов при построении математических моделей различых экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в избранной сфере деятельности.

Планируемые результаты обучения

Умеет работать с векторами в трехмерном пространстве
Умеет выполнять простейшие операции с матрицами
Владеет различными методами решения систем линейных уравнений
Умеет анализировать уравнения линий и поверхностей первого и второго порядка в трехмерном пространстве
Знает свойства и определения линейных операторов и линейных пространств, умеет решать задачи.
Знает свойства и определения, умеет решать задачи

Содержание учебной дисциплины

Векторная алгебра
Понятие вектора. Равные вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векто-ров. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Направляю-щие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
Матрицы и определители.
Определение числовых матриц и различные формы их истолкования. Столбцы, строки, главная и побочная диагонали (для квадратных матриц). Сложение матриц и умножение на число, свойства линейных операций. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования. Ин-дексные обозначения элементов матриц и операций над ними. Матрицы-столбцы и матрицы-строки. Умножение матриц, правило “строка на столбец”. Символ суммирования ∑ и его свойства. Свойства умножения матриц, взаимные свойства умножения и сложения. Обратная матрица. Элементарные преобразования строк (столбцов) в терминах умножения матриц. Вычис-ление обратной матрицы методом элементарных преобразований строк присоединенной матри-цы. След квадратной матрицы. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Миноры произ-вольного порядка. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы. Миноры его элементов и их ал-гебраические дополнения. Разложение определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителей. Вычисление определителей путем накопления нулей в строке (столбце). Детер минант как индикатор линейной зависимости системы своих столбцов (строк). Функциональная точка зрения на определитель.
Системы линейных уравнений.
Развернутая и матричная формы записи системы линейных уравнений. Равносильные преобразо-вания системы и соответствующие им элементарные преобразования строк расширенной матрицы. Условие совместности линейной системы (теорема Кронеккера-Капелли). Нахождение решений методом Гаусса-Жордана. Приведенная система. Множество решений однородной системы. Фун-даментальная матрица и фундаментальная система решений приведенной системы. Структура об-щего решения произвольной системы линейных уравнений, матричная форма его записи. Метод Крамера решения невырожденных квадратных линейных систем.
Элементы аналитической геометрии.
Общие уравнения плоскости в пространстве и прямой на плоскости. Параметрические и канониче-ские уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости. Общие урав-нения прямой в пространстве. Угол между плоскостями и между прямыми. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Канонические уравнения кривых второго порядка (эллипс, ги-пербола, парабола).
Линейные пространства и линейные операторы.
Определение линейного (векторного) пространства. Простейшие следствия и аксиом линейного пространства. Линейная зависимость векторов пространства. Базис и замена базиса. Линейные подпространства – определение и примеры. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сум-ма подпространств. Вычисление подпространств. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе Определение линейного отображения линейных пространств. Преобразование линейного пространства. Координатная запись линейных преоб-разований. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Сумма и произ-ведение линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Инвариантные подпро-странства. Задача о собственных векторах линейного преобразования. Собственные числа, спектр линейного оператора. Характеристическое уравнение и его инвариантность относитель-но замены базиса. Свойства собственных векторов и собственных значений. Диагональный вид матрицы преобразования. Линейные операторы простой структуры. Критерий диагонализируе-мости матрицы линейного оператора.
Квадратичные формы.
Линейные числовые функции (функционалы, формы) на линейных пространствах. Билинейные квадратичные формы. Ранг и индекс квадратичной формы. Квадратичные формы и скалярное произведение. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (формулировка).

Элементы контроля

контрольная работа
контрольная работа
экзамен
"Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе LMS (https://lms.hse.ru), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."
аудиторная активность
Устный опрос, работа у доски, разбор домашних заданий

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * аудиторная активность + 0.2 * контрольная работа + 0.2 * контрольная работа + 0.5 * экзамен

Bachelor’s Programme 'Business Informatics'

Algebra and Geometry

Instructors

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература