Probability Theory

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Department of Applied Mathematics and Informatics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 3, 4 module

Instructor

Chistyakova, Svetlana A.

Программа дисциплины

Аннотация

Для освоения учебной дисциплины студенты должны знать основные понятия высшей математики. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Интеллектуальный анализ данных и основы машинного обучения; • Введение в нейронные сети и машинный перевод

Цель освоения дисциплины

• Цель дисциплины — ознакомление студентов с основными методами теории вероятностей

Планируемые результаты обучения

• Уметь применять основные формулы вероятности событий для решения задач
• Знать законы распределения случайных величин
• Уметь вычислять условные распре-деления случайных величин
• Уметь вычислять основные характеристики случайных величин
• Уметь применять предельные теоремы для анализа распределений

Содержание учебной дисциплины

• Тема 1. Вероятность случайного события
  1.1. Элементарная теория вероятностей. Задача де Мере. Пространство элементарных исходов. События и операции над ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Способы задания вероятности. Простейшие следствия из аксиом. Условная вероятность и её свойства. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Независимые события и их свойства. Независимость в совокупности. 1.2. Схема Бернулли. Дискретная случайная величина и её распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа).
• Тема 2. Случайная величина
  2.1. Распределение. Общее определение случайной величины. Распределение и функция распределения. Свойства функции распределения. Разложение функции распределения и типы случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства. Распределение времени безотказной работы сложной системы без учёта эффекта усталости. 2.2. Типовые случайные величины. Дискретные случайные величины: гипергеометрическая, биномиальная, геометрическая, отрицательно-биномиальная, пуассоновская. Непрерывные случайные величины: равномерная, нормальная, экспоненциальная, Вей-булла, гамма-распределение
• Тема 3. Случайный вектор
  3.1. Многомерное распределение. Функция совместного распределения нескольких случайных величин и её свойства. Дискретный случайный вектор: полиномиальное распределение, многомерное распределение Пуассона. Непрерывный случайный вектор: равномерное распределение, многомерное нормальное распределение. Маргинальное распределение. 3.2. Типы связи случайных величин. Условное распределение. Формулы полной вероятности и Байеса для случайных величин. Независимость случайных величин. Функции случайных величин. Монотонные функции, распределение суммы и частного независимых случайных величин
• Тема 4. Числовые характеристики
  4.1. Числовые характеристики случайной величины. Моменты распределения случайной величины. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и её свойства. Коэффициенты ассиметрии и эксцесса. Мода, медиана, квантили. 4.2. Числовые характеристики случайного вектора. Смешанные моменты. Ковариация и её свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Независимость нормально распределённых случайных величин. Условное математическое и его свойства. Понятие о корреляционной связи
• Тема 5. Предельные теоремы
  Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Муавра- Лапласа. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределённых случайных величин. Роль нормального распределения

Элементы контроля

• Аудиторная работа
  Контроль осуществляется в виде еженедельных мини-контрольных работ
• Контрольная работа
• Экзамен
  Экзамен проводится на платформах Zoom (https://zoom.us), MS Teams (https://teams.microsoft.com). Ссылка будет отправлена преподавателем за три дня до экзамена.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.15 * Аудиторная работа + 0.35 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс теории вероятностей, учебник, 7-е изд., испр. и доп., 253 с., Чистяков, В. П., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

• Теория вероятностей и математическая статистика, учебник, 302 с., Колемаев, В. А., Калинина, В. Н., 2001