Linear Algebra

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

8

ECTS credits

Delivered at:

Department of Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 1-3 module

Instructors

Bespalov, Peter A.

Savina, Olga N.

Программа дисциплины

Аннотация

Курс нацелен на формирование навыков решения конкретных задач высшей математики из разделов: общая алгебра, системы линейных уравнений, матрицы, элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, векторная алгебра, линейные пространства и их преобразования. При освоении курса студент осваивает стандартные методы и модели аналитической геометрии и векторной алгебры с целью их применения к решению конкретных задач. осваивает базовые приемы решения задач и использует их при исследовательской деятельности. Изучение данной дисциплины базируется на математических дисциплинах программы средней общеобразовательной школы. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знать основные теоремы из курса геометрии средней школы; обладать навыками решения тригонометрических задач; уметь решать задачи из курса алгебры средней школы. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении последующих дисциплин, а также в проектной и исследовательской работе студента, и в будущей научно-исследовательской деятельности выпускника.

Цель освоения дисциплины

• Овладение теоретическими основами линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Приобретение навыков использования стандартных методов и моделей аналитической геометрии и векторной алгебры и их применением к решению конкретных задач.
• Формирование умения применять изученные методы и алгоритмы к реальным задачам прикладного характера.
• Формирование представления об алгоритмической сложности постановки решения задач общей и линейной алгебры.

Планируемые результаты обучения

• Владеет понятиями и методами векторной алгебры, умеет проводить линейные операции над векторами, определять линейную зависимость системы векторов. Понимает геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений.
• Умеет выполнять основные операции с матрицами, вычислять ранг и определитель, проводить элементарные преобразования.
• Владеет аппаратом исследования системы линейных алгебраических уравнений. Знает основные методы решения уравнений и умеет применять их на практике.
• Умеет анализировать уравнения линий и поверхностей первого и второго порядка в трехмерном пространстве.
• Понимает аксиоматику алгебраических структур, умеет проводить операции в поле комплексных чисел, владеет основными понятиями алгебры многочленов.
• Понимает аксиоматику линейных пространств, умеет применять понятия линейной зависимости векторов и базиса, применяет эти знания при решении задач.
• Имеет четкое представление о понятии линейного преобразования. Умеет находить матрицы оператора в различных базисах. Понимает определение собственных подпространств оператора и умеет находить собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
• Знает определение билинейных и квадратичных форм, умеет приводить квадратичные формы к каноническому виду, умеет выяснять знакоопределенность квадратичной матрицы.

Содержание учебной дисциплины

• Векторная алгебра
  Определение вектора в трехмерном пространстве. Линейные операции с векторами. Линейная зависимость векторов. Декартова прямоугольная система координат. Скалярное произведение векторов. Ориентация тройки базисных векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей в ортонормированном базисе. Условия коллинеарности и компланарности векторов. Площадь параллелограмма. Объем параллелепипеда.
• Матрицы и определители
  Определение матрицы. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц. Определение детерминанта. Свойства детерминантов. Вычисление детерминантов. Миноры произвольного порядка. Формула разложения детерминанта по элементам матрицы. Умножение матриц Свойства умножения матриц. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Ранг матрицы. Понятие базисного минора. Приведение матрицы к заданному каноническому виду. Теорема о базисном миноре.
• Системы линейных уравнений
  Система линейных уравнений и ее решение. Формулы Крамера для квадратной системы линейных уравнений. Общая теория систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование произвольной совместной системы. Укороченная система эквивалентная данной. Приведенная система. Множество решения однородной системы. Общее решение системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение. Связь между общими решениями неоднородной системы и соответствующей ей однородной системы. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
• Элементы аналитической геометрии
  Линии первого порядка и поверхности в пространстве. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Векторные уравнения плоскости и прямой. Признаки параллельности плоскостей и прямых на плоскости. Уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Признаки параллельности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Угол между плоскостями и между прямыми. Пучок прямых. Канонические уравнения кривых второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола и парабола.
• Элементы общей алгебры
  Множества и отображения. Понятие группы, кольца, поля. Примеры групп. Подгруппы. Нормальные делители, фактор-группы, гомоморфизмы. Прямые суммы абелевых групп. Изоморфизм колец (полей). Поле комплексных чисел. Комплексные числа в тригонометрической форме. Линейная алгебра и алгебра многочленов над произвольным полем.
• Линейные пространства
  Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства. Преобразование координат при замене базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса. Линейные подпространства и линейные оболочки линейного подпространства. Примеры линейных оболочек. Теоремы о размерности подпространства и линейной оболочки. Изоморфизм линейного пространства.
• Линейные операторы
  Линейные преобразования и линейные операторы. Матрица линейного оператора, ее преобразование при переходе к новому базису. Понятие ядра отображения. Инъективные и сюръективные отображения. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Необходимое и достаточное условие диагонализуемости матрицы линейного оператора. Линейные операторы простой структуры. Нормальные формы Жордана. Понятие о линейных функциях.
• Билинейные и квадратичные формы
  Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной и квадратичной форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестера.

Элементы контроля

• Контроль активности студента на занятии
  Под Контролем активности студента на занятии подразумевается: а) самостоятельное решение и объяснение задач текущей темы у доски студентом перед своей группой; в) качество выполнения домашнего задания (проверяется преподавателем у каждого студента в отдельности ).
• Текущая успеваемость
• Промежуточный экзамен
  Письменная работа 30 минут (10 вопросов). Пересдача проводится в период пересдач.
• Самостоятельная работа на занятиях
  Учитывается оценка контроля активности с коэффициентом 0.4 и средняя оценка текущей успеваемости с коэффициентом 0.6
• Контрольная работа 2
  Письменная работа 80 минут. В случае неудовлетворительной оценки студент допускается до пересдачи работы в срок, установленный преподавателем для всего потока, не позднее двух недель со дня проведения контроля, результат - зачет (4 балла), незачет (полученная ранее оценка).
• Контрольная работа 3
  Письменная работа 80 мин. В случае неудовлетворительной оценки студент допускается до пересдачи работы в срок, установленный преподавателем для всего потока, не позднее двух недель со дня проведения контроля, результат - зачет (4 балла), незачет (полученная ранее оценка).
• Итоговый экзамен
  Тестовая письменная работа 30 минут. Пересдача проводится в период пересдач.
• Контрольная работа 1
  Письменная работа 80 мин. в первом модуле. В случае неудовлетворительной оценки студент допускается до пересдачи работы в срок, установленный преподавателем для всего потока, не позднее двух недель со дня проведения, результат - зачет (4 балла), незачет (полученная ранее оценка).

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (1 модуль)
  0.7 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Промежуточный экзамен + 0.1 * Самостоятельная работа на занятиях
• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.2 * Итоговый экзамен + 0.25 * Контрольная работа 2 + 0.25 * Контрольная работа 3 + 0.2 * Промежуточная аттестация (1 модуль) + 0.1 * Самостоятельная работа на занятиях

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Беклемишев Д.В. - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник - Издательство "Лань" - 2020 - 448с. - ISBN: 978-5-8114-4748-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/126146
• Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю. - Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 496с. - ISBN: 978-5-8114-4577-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/122183

Рекомендуемая дополнительная литература

• Алгебра, [учебное пособие], 3-е изд., стер., 144 с., Гельфанд, И. М., Шень, А., 2014
• Краткий курс аналитической геометрии: Учебник/ Ефимов Н. В., 14-е изд., исправ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 240 с.: 60x90 1/16 (Переплёт) ISBN 978-5-9221-1419-6, 500 экз. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/537806
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
• Линейная алгебра и аналитическая геометрия, учебник, 3-е изд., перераб. и доп., 392 с., Ильин, В. А., Ким, Г. Д., 2014
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017