Аннотации мини-курсов

Аннотация:
Проблема изоморфизма графов состоит в нахождении наиболее эффективного алгоритма проверки изоморфизма конечных графов. Несмотря на значительные усилия многих математиков в последние 50 лет, время работы лучших из предложенных алгоритмов остается по существу экспоненциальным. Прорывом в этой области стал недавний результат Л. Бабаи, предлагающий квазиполиномиальный алгоритм проверки изоморфизма графов. Основные составляющие этого алгоритма: теория конечных групп подстановок, многомерные когерентные конфигурации и алгоритмы Лакса и Вейсфейлера – Лемана. В лекциях мы расскажем об алгоритме Вейсфейлера - Лемана, шуровых когерентных конфигурациях, а также их группах автоморфизмов, которые являются замыканиями групп подстановок Обсудим связь проблемы нахождения таких замыканий и проблемы изоморфизма графов, а также поговорим о других близких вопросах, в частности, о проблеме изоморфизма групп.

Лекции:
1. «Графы и алгоритм Вейсфейлера - Лемана»
2. «Группы подстановок и их замыкания»
3. «Вокруг проблемы изоморфизма»

Аннотация:
Интегрируемой называют динамическую систему, имеющую «достаточно большой» набор независимых первых интегралов. Фазовое пространство такой системы разбивается на поверхности меньшей размерности — совместные поверхности уровня нескольких первых интегралов. Для многих систем почти все эти слои суть замыкания фазовых траекторий. Классифицирующие топологические инварианты Фоменко-Цишанга (графы с метками) позволяют описать топологию возникающего слоения системы. Совпадение инвариантов у двух систем означает, что более сложную систему можно топологически промоделировать с помощью более простой.

Интересный класс интегрируемых систем был найден в классе биллиардов – гамильтоновых систем движения шара по области-столу с отражениями от ее границы. Примером служит биллиард внутри круга: интегралом, независимым с энергией системы, является радиус окружности (с тем же центром, что и сам круг), которой касаются все звенья ломаной-траектории на столе. Вопрос о критерии интегрируемости биллиарда составляет знаменитую гипотезу Биркгофа. Несколько ее вариаций были совсем недавно доказаны А.А.Глуцюком, А.Е.Мироновым и М.Бялым, С.В.Болотиным, В.Ю.Калошина и А.Соррентино. Класс плоских интегрируемых биллиардов оказался весьма узок: гладкие дуги границы стола принадлежат софокусным квадрикам или концентрическим окружностям и их радиусам.

Существенным расширением этого класса (сохраняющим интегрируемость) оказался построенный класс кусочно-плоских «биллиардных книжек»: разрешим изометрично склеивать несколько плоских софокусных областей-«листов» по их общим граничным дугам-«корешкам». «Корешки» оснастим циклическими перестановками, задающими переход шара с листа на лист после удара об этот корешок. Движение по книжке остается весьма наглядным, а топологический инвариант может быть алгоритмически вычислен. Класс получаемых значений инвариантов оказался весьма широким, а их вычисление по комбинаторным данным стола и перестановок допускает алгоритмизацию. Всё это, в частности, позволяет моделировать многие интегрируемые случаи классической механики и геодезические потоки лиувиллевых метрик на сфере и торе.

Аннотация:
Проблема вычисления объемов многогранников в трехмерном гиперболическом пространстве восходит к работам Н.И. Лобачевского. В настоящее время объемы принято выражать через функцию Л(x), которую ввел Дж. Милнор, назвав ее функцией Лобачевского. На первой лекции мы обсудим функцию Лобачевского, формулы объемов и оценки объемов для некоторых классов неевклидовых многогранников. На второй лекции мы обсудим структуру множества объемов трехмерных гиперболических многообразий, описываемую теоремой У. Терстона и Т. Йоргенсена. Более подробно рассмотрим многообразия, которые являются дополнениями в трехмерной сфере к гиперболическим узлам и зацеплениям. В заключение будут приведены оценки их объемов, которые можно «увидеть» по картинке узла. 

Лекции:

1. «Многогранники в пространстве Лобачевского»
2. «Гиперболические узлы»

Аннотация:
Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Миникурс посвящён бильярдам - одному из фундаментальных классов математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики. 

Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они.

Мы покажем, как бильярды возникают в классической механике,  и что преобразование бильярда на пространстве ориентированных прямых сохраняет площадь. Мы обсудим вышеупомянутые открытые проблемы и текущее состояние дел в их исследовании.

Если время позволит, поговорим об аналогичных проблемах для  проективных бильярдов, введенных С.Л.Табачниковым, обобщающих  бильярды на поверхностях постоянной кривизны: плоскости, сфере и плоскости Лобачевского.

Аннотация:
Классическая теория Галуа исследует симметрии корней многочлена. Дифференциальная теория Галуа исследует симметрии решений систем линейных дифференциальных уравнений. Как и классическая теория Галуа, дифференциальная теория Галуа нашла множество применений, в первую очередь, в вопросах о разрешимости линейных дифференциальных уравнений в определенных классах функций. Планируется дать общее введение в эту теорию. От слушателей не требуется никаких специальных предварительных знаний, кроме простейших понятий алгебры (группа, поле, векторное пространство).

Аннотация:
Некоммутативная алгебраическая геометрия это наука сравнительно новая, однако в последнее время стремительно развивающаяся. В частности, недавно удалось доказать некоторые весьма сильные общие теоремы, такие, как теорема о вырождении некоммутативной версии спектральной последовательности Ходжа - де Рама. При этом широкой математической публике эта область по-прежнему мало знакома. Я попробую, не вдаваясь в технические подробности, дать краткое описание некоммутативной алгебраической геометрии - её мотиваций, применений и результатов, как доказанных, так и гипотетических.

Аннотация:
В XIX веке немецкий математик Герман Шуберт разработал мощный метод (исчисление условий), давший явные ответы на многие вопросы исчислительной геометрии. Например, сколько прямых пересекает четыре данные прямые в пространстве? Или сколько гладких коник касается пяти данных? Хотя метод был эвристическим, ответы получались абсолютно точными. Среди прочего Шуберт вычислил, сколько скрученных кубик касаются двенадцати квадрик, получив правильный ответ 5 819 539 783 680. По выражению современных алгебраических геометров (авторов книги "3264 и всё такое") это всё равно что с завязанными глазами посадить аэробус. В XX веке исчисление условий было обосновано методами алгебраической топологии и теории пересечений. В последние десятилетия всё больше разрабатываются связи между исчислением Шуберта и алгебраической комбинаторикой. Я расскажу о классических и новых подходах к исчислению Шуберта, по возможности стараясь сохранить элементарный стиль изложения в духе самого Шуберта.

Аннотация:
Файл (PDF, 108 Кб)

Аннотация:
Курс посвящен сюжету, который проявляется в совершенно разных областях математики и физики. Мы обсудим алгебры Клиффорда (частным случаем которых являются комплексные числа и кватернионы), спинорные группы (они реализуются как подгруппы в группах обратимых элементов алгебр Клиффорда; спинорная группа двулистно накрывает соответствующую (псевдо)ортогональную группу) и спинорные представления (и хотя нам не хватит времени, мы выпишем оператор Дирака и уравнение, описывающее электрон).

Аннотация:
Одной из наиболее старых и классических задач алгебраической геометрии является проблема рациональности. Она состоит в вопросе: можно ли "почти все" точки многообразия алгебраически параметризовать независимыми параметрами. На алгебраическом языке это значит, что поле рациональных алгебраических функций на таком многообразии является полем рациональных функций от нескольких переменных. Мы обсудим подходы к доказательству (не-)рациональности алгебраических многообразий (преимущественно в малых размерностях), а также обобщения этого понятия.

Аннотация:
Джун Ху, лауреат премии Филдса 2022, решил несколько давно стоявших задач из комбинаторики, используя методы алгебраической геометрии, тропической геометрии и выпуклой геометрии. Представляется, что обнаруженные при этом структуры и связи между ними не замыкаются на решении изолированных задач, а выводят на новый уровень широкую ветвь комбинаторики, снабжая ее инструментами, заимствованными из других дисциплин. В настоящее время разыгрывается грандиозная математическая драма, с множеством переплетенных сюжетных линий. Я только кратко и (по необходимости) поверхностно опишу характеры основных действующих лиц – графов, многогранников, матроидов, тропических многообразий – обратив внимание в том числе на их исторические корни.

Аннотация:
Я расскажу про свойства конечных групп, действующие на алгебраических многообразиях. Особенно интересна ситуация, когда для данного многообразия или семейства многообразий можно доказать ограниченность какого-нибудь параметра для конечных подгрупп в группах автоморфизмов: например, порядков таких подгрупп, или каким-то образом определённую сложность. Мы обсудим несколько ситуаций, когда это удаётся проделать. В частности, я расскажу про свойство Жордана для групп автоморфизмов и бирациональных автоморфизмов рациональных поверхностей, а также про ограниченность конечных групп, действующих на неунилинейчатых многообразиях с нулевой иррегулярностью.