Differential Equations

2020/2021

Academic Year

ENG

Instruction in English

5

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 3, 4 module

Instructors

Didenkulova, E.G.

Samylina, Evgeniya

Safonov, Klim

Course Syllabus

Abstract

Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову. Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка.

Learning Objectives

• Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» является формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, ознакомление студентов с методами решения дифференциальных уравнений, а также знакомство с прикладными задачами дисциплины.

Expected Learning Outcomes

• Умеет решать основные типы дифференциальных уравнений;
• Знает основные способы решения систем линейных дифференциальных уравнений. Выбирает необходимый способ исходя из специфики задачи;
• Знает основные задачи, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями;
• Умеет применять дифференциальные уравнения к практическим задачам. Проверяет системы дифференциальных уравнений, возникающих при решении прикладных задач, на устойчивость.
• Исследует устойчивость решений дифференциальных уравнений, систем линейных дифференциальных уравнений и нелинейных систем специального вида;

Course Contents

• Дифференциальные уравнения первого порядка
  Основные понятия и определения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Приближенные методы интегрирования (метод изоклин, метод последовательных приближений). Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, уравнения в полных дифференциалах). Уравнение Риккати. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
• Дифференциальные уравнения высших порядков
  Задача Коши. Уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Применение теории рядов к решению линейных дифференциальных уравнений.
• Системы дифференциальных уравнений
  Основные понятия и определения. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений (метод исключения, метод интегрируемых комбинаций). Системы линейных дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
• Введение в теорию устойчивости
  Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений. Устойчивость однородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости с помощью функции Ляпунова. Простейшие типы положений равновесия на фазовой плоскости. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых и негрубых положений равновесия, а также на всей фазовой плоскости.

Assessment Elements

• письменный экзамен
• самостоятельные работы

Interim Assessment

• Interim assessment (4 module)
  0.5 * письменный экзамен + 0.5 * самостоятельные работы

Bibliography

Recommended Core Bibliography

• Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям, [учебник], 279 с., Лерман, Л. М., 2016

Recommended Additional Bibliography

• Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392