Algebra

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

4

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 4 module

Instructors

Борисов Иван Михайлович

Polotovskiy, Grigory

Программа дисциплины

Аннотация

Курс знакомит студентов с базовыми понятиями современной алгебры: группами, кольцами, полями, векторными пространствами. Особое внимание уделено приложениям. В частности, рассматриваются применения алгебры в топологическом анализе компьютерных моделей.

Цель освоения дисциплины

• Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики, знакомство с базисными алгебраическими структурами – группами, коммутативными кольцами и полями, векторными пространствами, с их гомоморфизмами, а также примерами и приложениями.

Планируемые результаты обучения

• Знание основных понятий теории групп. Умение проверять выполнение аксиом группы, находить ядро и образ гомоморфизма, образующие элементы и факторгруппы.
• Знание основных понятий теории колец, полей и векторных пространств. Умение проверять выполнение соответствующих аксиом на конкретных примерах.
• Знание некоторых алгоритмов вычисления базисов групп гомологий и их приложений.

Содержание учебной дисциплины

• Группы
  Основные определения теории групп. Базовые примеры. Ядро и образ гомоморфизма. Аддитивная группа целых чисел. Группы вычетов. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Образующие элементы. Циклические группы. Конечные и бесконечные циклические группы.
• Поля и векторные пространства
  Определение кольца и поля. Кольцо вычетов. Векторные пространства. Базовый пример. Базис и размерность векторного пространства.
• Примеры и приложения
  Симплициальные комплексы и схемы. Полиэдры. Клеточные разбиения. Группы цепей, циклов, границ и гомологий по модулю 2. Некоторые геометрические интерпретации. Методы вычисления групп гомологий и их базисов. Приложения в компьютерном моделировании и в численной схеме решения трехмерных задач механики сплошной среды.

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Контрольная работа содержит 2 задачи.
• Экзамен
  Экзамен проводится в письменной/устной форме (теоретические вопросы и задачи по материалам курса) на платформе MS Teams (https://www.microsoft.com/ru-ru/microsoft-365/microsoft-teams/). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию экзаменов. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение в 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование задач, аналогичных по сложности экзаменационным задачам.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• - Сборник задач по алгебре - Московский центр непрерывного математического образования - 2009 - 408с. - ISBN: 978-5-94057-413-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9360
• Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

• Введение в алгебру, учебник : в 3 ч., Ч. I, 271 с., Кострикин, А. И., 2009
• Вычислительная топология, учебник, 213 с., Яковлев, Е. И., 2005
• Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 2, под ред. А. И. Кострикина, 168 с., , 2007