Delivered at:: Department of Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Elective course

When:: 3 year, 1-4 module

Instructor

Abrashkin, Anatoly A.

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.01 «Математика», изучающих дисциплину «Математическая физика».

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математическая физика» являются углубленное изуче-ние основных уравнений математической физики и различных способов их решения, применение методов математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных к решению уравнений в частных производных, а также применение полученных знаний к анализу различных физических моделей.

Планируемые результаты обучения

Опознает, строит и решает гиперболические уравнения.
Опознает, строит и решает параболические уравнения.
Опознает, строит и решает эллиптические уравнения.
Опознает и строит спец функции. Соотносит их с уравнениями разных видов
Опознает, строит и решает типовые нелинейные уравнения.

Содержание учебной дисциплины

Введение
Характеристика предмета, его основных понятий. Уравнение малых колебаний струны. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. Поперечные колебания мембраны. Великие уравнения физики - уравнения Навье-Стокса, Максвелла, Шредингера, и их связь с основными уравнениями математической физики. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач. Классификация уравнений второго порядка. Характеристики. Каноническая форма линейных уравнений с двумя постоянными.
Гиперболические уравнения
Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера. Физическая интерпретация. Понятие характеристик. Неоднородное волновое уравнение. Колебания на полубесконечной прямой. Задачи для ограниченного отрезка. Дисперсия волн. Метод разделения переменных. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн. Акустические волны. Инварианты Римана. Уравнение Хопфа. Понятие ударной волны и математические аспекты ее описания.
Параболические уравнения
Линейная задача о распространении тепла. Уравнение диффузии. Постановка краевых задач. Принцип максимума. Задача Дирихле как задача определения стационарного распределения температуры по заданной температуре границы области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности. Принцип максимума для этого уравнения. Метод разделения переменных. Задача о диффузии вихревой нити в вязкой жидкости. Понятие - функции. Автомодельные решения. Функция источника (функция Грина).
Эллиптические уравнения
Краевые задачи для уравнения Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций. Уравнение Пуассона. Приложения к гидро- и электродинамике. Теоремы единственности для внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных. Функция Грина для оператора Лапласа. Гармонические потенциалы. Теория потенциала. Бигармоническое уравнение.
Специальные функции математической физики
Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. Функции Ханкеля. Функция Неймана. Общее решение уравнения Бесселя. Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Классические ортогональные полиномы. Дифференциальное уравнение. Формула Родрига. Производящая функция. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Полиномы Лагерра. Полиномы Эрмита. Сферические и шаровые функции. Простейшие задачи для уравнения Шредингера
Эволюционные уравнения, описывающие нелинейные физические процессы
Уравнения Бюргерса и Кортевега-де-Вриза. Физический смысл входящих в них членов. Точные решения этих уравнений (периодические волны, солитоны, бризеры). Метод много-масштабных разложений (общая характеристика). Нелинейное уравнение Шредингера и его приложения. Модуляционная неустойчивость. Волны огибающей.

Элементы контроля

контрольная
экзамен 1
экзамен 2
Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Moodle (https://et.hse.ru/), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.7 * контрольная + 0.3 * экзамен 1
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.25 * контрольная + 0.5 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.25 * экзамен 2

Bachelor’s Programme 'Mathematics'

Mathematical Physics

Instructor

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература