Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 2 year, 4 module

Instructor

Kazakov, Alexey

Full Syllabus

Abstract

Курс посвящен изучению современных методов численного исследования с акцентом на задачах теории динамических систем (анализ локальных бифуркаций систем с непрерывным и дискретным временем, исследование некоторых сценариев перехода от порядка к хаосу).

Learning Objectives

Целями освоения дисциплины является ознакомление студентов с методами вычислительной математики. Основной целью освоения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и навыков численного исследования различных математических проблем. Особое внимание будет уделено освоению методов численного исследования динамических систем, и численных методов проведения бифуркационного анализа.

Expected Learning Outcomes

Знания особенностей этапов математического моделирования объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, а также методов и алгоритмов исследования этих моделей с учетом их возможной реализации на ЭВМ.
Наблюдение перехода к хаосу по сценарию Фейгенбаума, реализация численного алгоритма решения вычислительной задачи, анализирование полученных решений
Правильно математически сформулировать вычислительную задачу, проанализировать её свойства, обоснованно выбрать оптимальный численный метод решения, проанализировать свойств алгоритма
Построение карт показателей Ляпунова. Анализ системы на основе построенных карт.
Численные исследования локальных и глобальных бифуркаций в системе Лоренца и системе Ресслера

Course Contents

Анализ глобальных бифуркаций систем с дискретным временем.
5.1. Построение инвариантных многообразий седловых состояний равновесия (для потоков) и седловых циклов (для отображений). 5.2. Глобальные бифуркации, гомоклинические траектории и гомоклинические структуры. 5.3. Численные исследования локальных и глобальных бифуркаций в системе Лоренца и системе Ресслера. 5.4. Численные исследования трехмерного отображения Эно.
Двухпараметрический анализ динамических систем.
4.1. Построение бифуркационных кривых локальных бифурккаций периодических точек. 4.2. Построение карт динамических режимов. Анализ системы на основе построенных карт. 4.3. Построение карт показателей Ляпунова. Анализ системы на основе построенных карт. 4.4. Построение карт средней дивергенции (среднего якобиана). Анализ системы на основе построенных карт.
Анализ локальных бифуркаций систем с дискретным временем.
2.1. Бифуркации неподвижных точек. 2.2. Методы численного поиска неподвижных и периодических точек и определение их мультипликаторов. 2.3. Продолжение неподвижных точек по параметрам. 2.4. Численное исследование двумерного отображения Эно и универсального отображения Спротта. Построения деревьев бифуркаций
Исследование некоторых сценариев перехода от порядка к хаосу. Классификация хаотических режимов.
3.1. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. 3.2. Переход к хаосу в результате разрушения тора (инвариантной кривой для отображения) по сценарию Афраймовича-Шильникова. 3.3. Переход к хаосу в результате возникновения гомоклиники к седло-фокусу по сценарию Шильникова. 3.4 Переход к хаосу в соответствии со сценариями Гонченко-Шильникова (устойчивая точка -> удвоение периода -> возникновение гомоклинической структуры -> исчезновение регулярного аттрактора). 3.5 Классификация странных аттракторов: •Квазиаттракторы; •Гиперболические аттракторы; •Псевдогиперболические аттракторы
Введение. Классификация динамических систем.
1. Классификация динамических систем 1.1.1 По типу времени •Системы с непрерывным временем (потоки) •Системы с дискретным временем (точечные отображения) 1.1.2. По размерности 1.1.3. По наличию дополнительных инвариантов (симметрий, первых интегралов) •Интегрируемые системы. •Неинтегрируемые системы с гладкой инвариантной мерой. •Неинтегрируемые системы без меры •Обратимые (реверсивные) системы. 1.2. Классификация аттракторов в потоковых и дискретных системах: состояния равновесия, периодические орбиты. 1.2 Понятие бифуркации в динамических системах. 1.4. Сведение потоковых систем к точечным отображениям с помощью построения секущей Пуанкаре. Численные методы конструирования отображения Пуанкаре.

Assessment Elements

Лабораторная работа "Исследование перехода к хаосу в одномерных отображениях"
Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в двумерных отображениях"

Interim Assessment

Interim assessment (4 module)
0.5 * Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в двумерных отображениях" + 0.5 * Лабораторная работа "Исследование перехода к хаосу в одномерных отображениях"

Bibliography

Recommended Core Bibliography

Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу - Нелокальные бифуркации - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 413с. - ISBN: 978-5-4439-2322-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80116
Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией: монография / Куракин Л.Г., Юдович В.И. - Ростов-на-Дону:Издательство ЮФУ, 2009. - 208 с. ISBN 978-5-9275-0663-7 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/556877

Recommended Additional Bibliography

Нелинейные дифференциальные уравнения бифуркации и процессы перехода : монография / А.А. Белолипецкий, А.М. Тер-Крикоров. — М. : КУРС, 2018. - 184 с. - ISBN 978-5-906818-87-4. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/1017172

Bachelor’s Programme 'Mathematics'

Mathematical Computations