Algebra

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 1, 2 module

Instructor

Chebochko, Natalya

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина является продолжением курса алгебры на 1 курсе бакалавриата. Дисциплина направлена на освоение таких понятий и утверждений линейной алгебры как теория билинейных и квадратичных форм, теория евклидовых и унитарных пространств и линейных отображений в них, теория тензоров.

Цель освоения дисциплины

• Освоение фундаментальных понятий и результатов линейной алгебры.
• Формирование умений и навыков в решении задач линейной алгебры.
• Знакомство с основными вычислительными алгоритмами линейной алгебры

Планируемые результаты обучения

• Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
• Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
• Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
• Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
• Знать определения и основные факты теории тензоров
• Уметь доказывать основные факты теории тензоров
• Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами

Содержание учебной дисциплины

• Билинейные и квадратичные формы.
  Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса. Эквивалентность билинейных и квадратичных форм. Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы.
• Евклидово (унитарное) пространство.
  Скалярное произведение, свойства. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональное дополнение подпространства.
• Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
  Соответствие между линейными операторами и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Свойства. Матрица сопряженного оператора. Инвариантные подпространства относительно сопряженного. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства. Спектр самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм. Ортогональные (унитарные) операторы, их свойства, эквивалентные определения. Матрица ортогонального оператора, свойства собственных чисел и собственных векторов ортогонального оператора. Канонический вид ортогонального (унитарного) оператора.
• Тензоры.
  Сопряженное векторное пространство, двойственный базис. Определение тензора, координаты тензора. Операции над тензорами.

Элементы контроля

• Контрольная работа
• коллоквиум
  Задание на коллоквиуме содержит 1 теоретический вопрос и 1 задачу
• Итоговый устный опрос
  Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.7 * Итоговый устный опрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * Контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
• Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
• Задачи и теоремы линейной алгебры, [перераб. и расш.], 575 с., Прасолов, В. В., 2015
• Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016