• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Research seminar "Material analysis"

2020/2021
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
6
ECTS credits

Instructor

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин профессионального цикла (вариативная часть). Изучается на 2-м курсе в 3-4 модулях. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра и геометрия». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: знание курса «Математический анализ» в полном объеме; знание курса «Линейная алгебра и геометрия» в части, касающейся теории матриц и теории линейных пространств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Математическая физика», «Функциональный анализ».
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • освоение основных понятий и методов вещественного анализа; создание теоретической базы для последующего обучения смежным математическим дисциплинам; обучение практическим навыкам при вычислении мощностей и мер множеств, а также интегралов функций.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • В результате освоения дисциплины студент должен: знать основные положения современной теории меры; уметь: применять методы вещественного анализа при решении прикладных задач; иметь навыки вычисления мощностей и мер множеств.
  • В результате освоения дисциплины студент должен: знать основные положения современной теории меры, теории измеримых функций и интегрирования, теории функций ограниченной вариации; уметь: применять методы вещественного анализа при решении прикладных задач; иметь навыки вычисления интегралов и вариаций функций, а также пределов последовательностей функций.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Действительные числа, элементы теории множеств, обычная топология в R^n, системы множеств, теория меры
    Аксиомы действительных чисел. Операции над множествами. Мощность множества. Системы множеств: кольца, алгебры, сигма-алгебры. Определения меры, счетно-аддитивной меры, знакопеременной меры и счетно-аддитивной знакопеременной меры (заряда). Продолжения меры по Лебегу. Мера Стильтьеса. Мера Лебега в Rn. Разложение меры в сумму абсолютно непрерывной и сингулярной составляющих.
  • Измеримые функции, интеграл Лебега, функции ограниченной вариации
    Измеримые функции и их свойства. Различные виды сходимости последовательности функций: равномерная, поточечная, почти всюду, по мере. Связь различных видов сходимости: теорема Егорова, теорема Лебега, теорема Рисса. Теорема Лузина о С-свойстве. Определение и свойства интеграла Лебега. Счётная аддитивность интеграла Лебега. Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Радона-Никодима. Три теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега: теорема Лебега, теорема Беппо Леви, теорема Фату. Определение интеграла Лебега по сигма-конечной мере. Связь интегралов Римана и Лебега. Полное произведение мер. Теорема Фубини. Функции ограниченной вариации. Их свойства. Интеграл Стилтьеса. Теорема о дифференцируемости интеграла Лебега по верхнему пределу.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Итоговый устный опрос
  • неблокирующий Домашние задания
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Действительный анализ в задачах, учебное пособие, 416 с., Ульянов, П. Л., Бахвалов, А. Н., Дьяченко, М. И., Казарян, К. С., Сифуэнтес, П., 2005
  • Дерр В.Я. - Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения. (для бакалавров) - КноРус - 2019 - 387с. - ISBN: 978-5-406-06377-4 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/930014
  • Ульянов П.Л. - Действительный анализ в задачах - Издательство "Физматлит" - 2005 - 416с. - ISBN: 5-9221-0595-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2353
  • Ульянов, П. Л. Действительный анализ в задачах [Электронный ресурс] / П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов, М. И. Дьяченко и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 416 с. - ISBN 5-9221-0595-7. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/544632

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Далингер В. А., Симонженков С. Д. - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 242с. - ISBN: 978-5-9916-8999-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-funkciy-deystvitelnogo-peremennogo-437150
  • Натансон И.П. - Теория функций вещественной переменной - Издательство "Лань" - 2008 - 560с. - ISBN: 978-5-8114-0136-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/284
  • Теория функций действительного переменного: Учебное пособие / Быкова О.Н., Колягин С.Ю., Кукушкин Б.Н. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2016. - 196 с.: 60x90 1/16 (Переплёт 7БЦ) ISBN 978-5-905554-21-6 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/543159