Differential Geometry

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

8

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Elective course

When:

3 year, 1-4 module

Instructor

Yakovlev, Evgeniy

Программа дисциплины

Аннотация

В первой части семинара "Дифференциальная геометрия" изучается классическая геометрия кривых и поверхностей. Особое внимание уделяется геодезическим линиям и их свойствам. В частности, доказываются теоремы Клеро и описывается качественное поведение геодезических на поверхностях вращения. Вторая часть семинара посвящена введению в теорию гладких многообразий и риманову геометрию. Изучается теория гладких тензорных полей на многообразиях и, в частности, внешних форм. Определяется интегрирование внешних форм и доказывается формула Стокса. Активное изучение теоретических вопросов достигается благодаря решению многочисленных задач и упражнений.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление с основными понятиями современной дифференциальной геометрии и ее приложениями. Изучение основ геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения геометрических задач. Формирование у студентов представлений о дифференциальной геометрии, как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

• Знание теории вектор-функций, умение дифференцировать вектор-функции одного и двух переменных
• Знание теории гладких кривых. Умение вычислять кривизну и кручение пространственных кривых, вычислять базис Френе, составлять уравнения элементов трехгранника Френе и натуральных уравнений для плоских кривых.
• Знание основных понятий и теорем теории гладких поверхностей. Умение вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности и применять их при решении задач дифференциальной геометрии.
• Знание основных понятий тензорного исчисления на поверхностях. Навыки работы с гладкими тензорными полями на поверхностях.
• Знание теории параллельного переноса и геодезических линий. Умение составлять дифференциальные уравнения геодезических линий и решать их в частных случаях. Навыки описания качественного поведения геодезических на поверхностях вращения.
• Знание основных понятий теории гладких многообразий. Умение строить дифференциальные структуры, проверять гладкость и регулярность отображений, находить касательные пространства и их голономные базисы, задавать ориентации.
• Знание теории тензорных полей и, в частности, теории внешних форм на гладких многообразиях. Умение проверять гладкость тензорных полей, вычислять скобки Ли векторных полей, внешние произведения и внешние дифференциалы форм, кодифференциалы гладких отображений
• Знание теории интегрирования внешних форм на многообразиях. Умение вычислять интегралы от форм с помощью формулы Стокса, проверять точность внешних форм с применением теоремы де Рама.

Содержание учебной дисциплины

• Анализ вектор-функций
  Вектор-функции одного переменного. Годограф вектор-функции. Предел вектор-функции. Координатные функции. Свойства пределов вектор-функции. Непрерывность и дифференцируемость вектор-функции. Правила дифференцирования вектор-функции. Формула Тейлора для вектор-функции. Интегрирование вектор-функции. Вектор-функция двух переменных. Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции двух переменных.
• Гладкие кривые
  Элементарные гладкие кривые. Понятие гладкой кривой. Регулярная кривая. Непараметризованная кривая. Касательная к гладкой кривой. Формулы Френе. Элементы трехгранника Френе. Формулы для вычисления кривизны и кручения. Геометрический смысл кривизны и кручения. Натуральное уравнение гладкой кривой. Неявно заданные кривые. Уравнение касательной к неявно заданной кривой. Обобщенные гладкие кривые.
• Гладкие поверхности
  Элементарные гладкие поверхности. Параметрически заданные гладкие поверхности. Неявно заданные поверхности. Касательная плоскость к поверхности. Уравнение касательной плоскости к параметрически и неявно заданным поверхностям. Первая квадратичная форма поверхности и ее коэффициенты. Применение первой квадратичной формы поверхности к вычислению длин дуг, углов между гладкими кривыми и вычислению площадей кусков поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Коэффициенты второй квадратичной формы. Расположение поверхности относительно касательной плоскости. Направления на поверхности. Плоские сечения. Кривизна нормального сечения. Теорема Менье. Криволинейные координаты и координатные линии на поверхности. Асимптотические линии на поверхности. Главные кривизны и главные направления. Линии кривизны. Нахождение главных кривизн, главных направлений и линий кривизны. Гауссовы и средние кривизны поверхности. Минимальные поверхности. Понятие о внутренней геометрии поверхностей. Блистательная теорема Гаусса.
• Тензорные поля на поверхностях
  Тензорные обозначения. Преобразования базисов. Гладкие тензорные поля на поверхностях. Операции над тензорными полями. Метрический тензор на поверхности. Вывод деривационных формул Гаусса.
• Геодезические линии на поверхностях
  Параллельный перенос векторного поля вдоль кривой и его свойства. Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Определение и примеры геодезических линий. Вывод дифференциальных уравнений геодезических. Геодезические как наименее искривленные линии на поверхности. Геодезические на плоскости и на сфере. Механическая интерпретация геодезических линий. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Клеро. Качественное поведение геодезических на однополостном гиперболоиде вращения. Геодезические как локально кратчайшие линии на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне и ее применения.
• Гладкие многообразия
  Гладкие структуры и гладкие отображения. Касательные векторы и касательные пространства. Голономный базис. Дифференциал гладкого отображения. Регулярные и критические точки. Регулярные отображения. Подмногообразия гладкого многообразия. Гладкие расслоения. Ориентации и ориентируемость. Гладкие многообразия с краем. Корректность определения внутренности и края. Край как гладкое подмногообразие. Индуцированная ориентация края. Прямые произведения гладких многообразий. Группы Ли.
• Тензорные поля и внешние формы на многообразиях
  Кокасательное пространство и его базис. Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля на многообразиях и их гладкость. Алгебра Ли векторных полей. Тензоры в касательном пространстве. Построение тензорных расслоений. Тензорные поля и их гладкость. Базис пространства k-линейных форм. Внешние формы. Внешнее умножение форм. Свойства альтернирования и внешнего умножения. Пространство внешних форм фиксированной степени и его базис. Формы объема. Внешние формы на многообразии (поля форм). Внешнее дифференцирование форм и его свойства. Связь с классическими дифференциальными операторами. Замкнутые и точные формы. Когомологии де Рама. Кодифференциал гладкого отображения и его свойства.
• Интегрирование на многообразиях
  Разбиение единицы на гладком многообразии. Интегрирование финитных внешних форм по многообразию. Формула Стокса. Следствия из формулы Стокса. Вывод классических теорем математического анализа (формул Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса) из общей формулы Стокса. Критерий де Рама точности внешней формы.

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Задание контрольной работы включает 3 задачи.
• Контрольная работа
  Задание контрольной работы включает 2 задачи
• Итоговая контрольная работа
  Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос
• Итоговая контрольная работа
  Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.6 * Итоговая контрольная работа + 0.4 * Контрольная работа
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.6 * Итоговая контрольная работа + 0.4 * Контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2-е изд., испр., 307 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2016
• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, под общ. ред. акад. А. Т. Фоменко, 409 с., Мищенко, А. С., Соловьев, Ю. П., Фоменко, А. Т., 2016

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, 298 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2004
• Розендорн Э.Р. - Задачи по дифференциальной геометрии - Издательство "Физматлит" - 2008 - 144с. - ISBN: 978-5-9221-0821-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2295
• Сизый С.В. - Лекции по дифференциальной геометрии - Издательство "Физматлит" - 2007 - 346с. - ISBN: 978-5-9221-0742-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2320
• Шаров Г.С., Шелехов А.М., Шестакова М.А. - Сборник задач по дифференциальной геометрии - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - 112с. - ISBN: 5-94057-207-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9440