Research Seminar "Theory of Operators"

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

4

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

4 year, 1 module

Instructor

Galkin, Oleg

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра и геометрия». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: • знание курса «Математический анализ» в полном объеме; • знание курса функциональный анализ» в полном объеме; • знание курса «Линейная алгебра и геометрия» в части, касающейся теории матриц и теории линейных пространств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: • «Теория вероятностей»; • «Математическая статистика»; • «Математическая физика».

Цель освоения дисциплины

• Освоение основных понятий и методов интегрирования и теории операторов
• Создание теоретической базы для последующего обучения смежным математическим дисциплинам

Планируемые результаты обучения

• В результате освоения дисциплины студент должен Знать: основные положения современных теорий меры и интегрирования; основные положения теории функциональных пространств; Уметь: применять методы теории операторов при решении прикладных задач. Иметь навыки использования методов интегрирования при решении теоретических и прикладных задач.
• Владеть основными понятиями теории линейных операторов

Содержание учебной дисциплины

• Мера и интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса
  Тема включает в себя следующие подтемы: системы множеств, меры на системах множеств, продолжение меры с полукольца на сигма-алгебру, конструкция классической меры Лебега на прямой, конструкция меры Стилтьеса на прямой, интеграл Лебега по классической мере Лебега и по мере Стилтьеса
• Линейные операторы и их простейшие свойства
  Теория: 1. Определение линейного пространства (а также определения конечномерного и бесконечномерного линейного пространства), линейного оператора, линейного функционала. Примеры (не менее 5 на каждое понятие). Определение Im A, Ker A. Док-во того, что они являются линейными подпространствами. Их связь с инъективностью и сюръективностью А (с док-вами). 2. Определение проектора Р на подпространство Х вдоль подпространства Y. Найти Ker P, Im P (с док-вом). Необходимое и достаточное условие того, что линейный оператор является проектором (с док-вом). 3. Операторы конечного ранга: определение, представление с помощью лин. функционалов (с док-вом), примеры. 4. Операторы вложения: определение, примеры (не менее 5). Теорема (с док-вом), о том, каковы ядро и образ оператора вложения. 5. Определение нормы на линейном пространстве. Пространства последовательностей с, c0, c00, lр при p є [1,∞]. Доказать, что стандартные нормы на этих пространствах удовлетворяют определению нормы. 6. Определение нормы на линейном пространстве. Пространства функция C[a,b], Cb(ℝ), Lp[a,b] при при p є [1,∞), W1p[a,b]. Доказать, что стандартные нормы на этих пространствах удовлетворяют определению нормы. 7. Четыре определения нормы линейного оператора. Док-во их равносильности. 8. Общий алгоритм нахождения нормы линейного оператора. Пример оператора, норма которого достигается на векторе. Пример оператора, норма которого достигается на последовательности векторов. 9. Определения и примеры операторов: диагональный, умножения на функцию, интегральный (Фредгольма, Вольтерра), дифференцирования. Должно быть по 1 примеру на каждое понятие. Представление оператора Вольтерра в виде оператора Фредгольма. 10. Определение банаховых пространств. Примеры банаховых пространств (не менее 2) и нормированных, но не банаховых пространств (не менее 2). Задачи: 1. Найти ядро, образ, ранг оператора. Является ли оператор проектором? Является ли оператор инъективным, биективным, сюръективным? 2. Найти норму оператора в пространстве функций. 3. Найти норму оператора в пространстве последовательностей.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Итоговый устный опрос

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (1 модуль)
  0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Задачи по функциональному анализу, [учебное пособие], МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-мат. фак., нов. изд., 334 с., Бородин, П. А., Савчук, А. М., Шейпак, И. А., 2017
• Краткий курс функционального анализа, учебное пособие, 2-е изд., стер., 271 с., Люстерник, Л. А., Соболев, В. И., 2018
• Функциональный анализ, учебное пособие, 3-е изд., 206 с., Князев, П. Н., 2009
• Функциональный анализ. Лекции и упражнения, учебное пособие, 461 с., Дерр, В. Я., 2016
• Элементы теории функций и функционального анализа, [учебник], 7-е изд., 570 с., Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по функциональному анализу, учебник, 2-е изд., испр. и доп., 560 с., Хелемский, А. Я., 2014
• Функциональный анализ и вычислительная математика, учебное пособие, 4-е изд., испр. и доп., 296 с., Лебедев, В. И., 2000