Algebra

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

10

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 1-4 module

Instructors

Kruglov, Vladislav

Chebochko, Natalya

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина направлена на освоение понятий и утверждений теории определителей, систем линейных уравнений и матричной алгебры; теории многочленов и комплексных чисел; основ теории линейных пространств; знакомство с теорией алгебраических систем (группа, кольцо, поле).

Цель освоения дисциплины

• Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
• Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
• Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.

Планируемые результаты обучения

• Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
• Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Уметь вычислять определители.
• Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
• Знать определения и утверждения теории матриц
• Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
• Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
• Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
• Знать определения и утверждения теории многочленов
• Знать определения и утверждения теории векторных пространств
• Знать определения и утверждения теории линейных отображений
• Уметь доказывать результаты из теории матриц
• Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
• Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
• Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
• Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
• Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
• Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
• Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
• Уметь доказывать результаты теории многочленов
• Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
• Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
• Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
• Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
• Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
• Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
• уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками

Содержание учебной дисциплины

• Поле комплексных чисел.
  Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, операции. Степень и извлечение корня из комплексного числа. Группа корней из единицы.
• Делимость в кольце целых чисел.
  Делимость целых чисел. Свойства. НОД и НОК. Свойства. Алгоритм Евклида. Взаимно простые числа. Свойства, критерий взаимной простоты. Простые числа и их свойства. Решето Эратосфена. Теорема Евклида. Основная теорема арифметики, следствия из нее. Кольцо вычетов по модулю m. Целостные кольца. Поле вычетов. Характеристика поля.
• Кольцо многочленов.
  Определение кольца многочленов. Делимость в кольце многочленов. Факториальность кольца многочленов над полем. Корни многочленов. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Многочлены с действительными коэффициентами. Локализация корней: теорема Штурма.
• Алгебра матриц.
  Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, обратная матрица. Основные определения, утверждения и примеры групп, колец, полей.
• Теория определителей.
  Определители малых порядков. Перестановки и подстановки. Определители n-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.
• Метод последовательного исключения неизвестных.
  Общие определения. Метод Гаусса. Критерий совместности.
• Системы линейных алгебраических уравнений.
  n-мерное арифметическое пространство. Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной системы и присоединенной однородной системы.
• Векторные пространства.
  Линейная зависимость, базис, размерность. Подпространства, сумма и пересечение подпространств, прямая сумма. Координаты, матрица перехода от одного базиса к другому.
• Линейные отображения.
  Действия с линейными отображениями, их матрицы. Ядро, образ, ранг, дефект линейного отображения.

Элементы контроля

• контрольная работа
• коллоквиум
• Итоговый устный вопрос
  Опрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса) на платформе Zoom. К опросу необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время опроса студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в опросе. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
• Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
• Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
• Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016