Геометрия

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

9

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 1-3 module

Instructors

Gurevich, Elena

Kruglov, Vladislav

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Аналитическая геометрия» посвящён применению аналитических методов для решения геометрических задач. В процессе обучения студенты получают навыки векторной алгебры, изучают уравнения прямой, плоскости, кривых второго порядка, поверхностей в пространстве, элементы проективной геометрии.

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» является, прежде всего, освоение приемов решения геометрических задач с помощью аналитических методов. Эта дисциплина, будучи фактически завершённым разделом математики, даёт необходимые средства для изучения и понимания многих других математических дисциплин, в том числе математического анализа, а также способствует формированию общего взгляда на математику и на баланс различных подходов к математическим задачам. Кроме того, дисциплина призвана, насколько это возможно, скомпенсировать недостаточность изучения геометрии в школе в настоящее время.

Планируемые результаты обучения

• Решение задач на операции с векторами и их применение.
• Определение линейной зависимости-независимости данной системы векторов.
• Решение задач по теме (взаимное расположение прямых, нахождение уравнений прямых по заданным условиям, и т.п.)
• Решение задач по теме "плоскость"
• Решение задач по теме "прямая линия в пространстве"
• Решение задач с применением пучков и связок.
• Решение задач, направленных на освоение теоретического материала по теме
• Решение теоретических и вычислительных задач по теме
• Задачи на приведение уравнений кривых второй степени к каноническому виду
• Задачи на определение типа кривой с помощью инвариантов
• Задачи на определение вида поверхности по её уравнению, в том числе – с помощью плоских сечений
• Задачи на определение типа поверхности с помощью вычисления инвариантов
• Задачи на переход от аффинной системы координат к проективной и обратно.

Содержание учебной дисциплины

• Векторная алгебра
  Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис и система координат. Координаты вектора. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения век-торов, их свойства и их вычисления в ортонормированном базисе.
• Прямая линия на плоскости
  Разные типы уравнения прямой. Типовые задачи о прямых на плоскости (угол между прямыми, расстояние от точки до прямой).
• Плоскость
  Различные виды уравнения плоскости; расстояние от точки до плоскости.
• Прямая линия в пространстве
  Различные виды уравнения прямой в пространстве и их связь. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью.
• Пучки прямых и плоскостей
  Пучки прямых и плоскостей, связки плоскостей.
• Замена базиса и системы координат
  Матрица перехода. Сдвиг начала координат. Поворот координат. Пересчёт координат точки. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования.
• Кривые второй степени
  Геометрические определения эллипса, гиперболы, параболы, вывод канонических уравнений. Эксцентриситет, директрисы, фокально-директориальные свойства.
• Кривые второй степени (часть 2)
  общее уравнение, постановка задачи классификации, теоремы о приведении уравнения кривой к каноническому виду. Аффинная классификация кривых второй степени.
• Ортогональные инварианты кривых второй степени
  Определение типа кривой по инвариантам. Асимптотические направления, диаметры, центры кривых второй степени.
• Уравнение поверхности в пространстве
  Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид вращения. Трёхосный эллипсоид. Коническая поверхность. Конус второй степени. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Параболоиды. Прямолинейные образующие.
• Аффинные инварианты поверхностей второй степени
  Классификация (17 типов) поверхностей второй степени.
• Элементы проективной геометрии
  Проективная плоскость, проективные координаты, модели проективной плоскости. Проективная классификация кривых второй степени; проективное пространство, проективная классификация поверхностей второй степени.

Элементы контроля

• Контрольная работа №1
• Контрольная работа №2
• Контрольная работа №3
• Контрольная работа №4
• Экзамен
  Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• Аудиторная оценка
  Оценка за работу в аудитории
• Коллоквиум

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.4 * Коллоквиум + 0.6 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Задачи и упражнения по аналитической геометрии, [учебное пособие], 34-е изд., стер., 336 с., Цубербиллер, О. Н., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - 224с. - ISBN: 978-5-9221-0511-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2179