Differential Geometry

2022/2023

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

8

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

3 year, 1-4 module

Instructor

Yakovlev, Evgeniy

Программа дисциплины

Аннотация

В первой части семинара "Дифференциальная геометрия" изучается классическая геометрия кривых и поверхностей. Особое внимание уделяется геодезическим линиям и их свойствам. В частности, доказываются теоремы Клеро и описывается качественное поведение геодезических на поверхностях вращения. Вторая часть семинара посвящена введению в теорию гладких многообразий и риманову геометрию. Изучается теория гладких тензорных полей на многообразиях и, в частности, внешних форм. Определяется интегрирование внешних форм и доказывается формула Стокса. Активное изучение теоретических вопросов достигается благодаря решению многочисленных задач и упражнений.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление с основными понятиями современной дифференциальной геометрии и ее приложениями. Изучение основ геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения геометрических задач. Формирование у студентов представлений о дифференциальной геометрии, как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

• Знание основных понятий и теорем теории гладких поверхностей. Умение вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности и применять их при решении задач дифференциальной геометрии.
• Знание основных понятий тензорного исчисления на поверхностях. Навыки работы с гладкими тензорными полями на поверхностях.
• Знание основных понятий теории гладких многообразий. Умение строить дифференциальные структуры, проверять гладкость и регулярность отображений, находить касательные пространства и их голономные базисы, задавать ориентации.
• Знание теории вектор-функций, умение дифференцировать вектор-функции одного и двух переменных
• Знание теории гладких кривых. Умение вычислять кривизну и кручение пространственных кривых, вычислять базис Френе, составлять уравнения элементов трехгранника Френе и натуральных уравнений для плоских кривых.
• Знание теории интегрирования внешних форм на многообразиях. Умение вычислять интегралы от форм с помощью формулы Стокса, проверять точность внешних форм с применением теоремы де Рама.
• Знание теории параллельного переноса и геодезических линий. Умение составлять дифференциальные уравнения геодезических линий и решать их в частных случаях. Навыки описания качественного поведения геодезических на поверхностях вращения.
• Знание теории тензорных полей и, в частности, теории внешних форм на гладких многообразиях. Умение проверять гладкость тензорных полей, вычислять скобки Ли векторных полей, внешние произведения и внешние дифференциалы форм, кодифференциалы гладких отображений

Содержание учебной дисциплины

• Анализ вектор-функций
• Гладкие кривые
• Гладкие поверхности
• Тензорные поля на поверхностях
• Геодезические линии на поверхностях
• Гладкие многообразия
• Тензорные поля и внешние формы на многообразиях
• Интегрирование на многообразиях

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Задание контрольной работы включает 2 задачи
• Итоговый устный опрос
  Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос
• Итоговый устный опрос
  Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос
• Контрольная работа
  Задание контрольной работы включает 3 задачи.

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 2 модуль
  0.6 * Итоговый устный опрос + 0.4 * Контрольная работа
• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2-е изд., испр., 307 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2016
• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, под общ. ред. акад. А. Т. Фоменко, 409 с., Мищенко, А. С., Соловьев, Ю. П., Фоменко, А. Т., 2016

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, 298 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2004
• Розендорн, Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии : учебное пособие / Э. Р. Розендорн. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 144 с. — ISBN 978-5-9221-0821-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2295 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Сизый, С. В. Лекции по дифференциальной геометрии : учебное пособие / С. В. Сизый. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 346 с. — ISBN 978-5-9221-0742-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2320 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Шаров, Г. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии : учебное пособие / Г. С. Шаров, А. М. Шелехов, М. А. Шестакова. — Москва : МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-207-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9440 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Яковлев Евгений Иванович
• Жукова Нина Ивановна