Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 2 year, 1-4 module

Instructors

Galkina, Svetlana

Medvedev, Timur V.

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, таких как дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теория функций действительных переменных, теория функций комплексных переменных, вычислительные методы, дифференциальная геометрия, топология и других.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является углубленное изучение основных понятий теории числовых и функциональных рядов, несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметра. Также в курс входит владение теорией криволинейных интегралов первого и второго рода, двойных и тройных интегралов; поверхностных интегралов первого и второго рода. Устанавливается взаимосвязь формул Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса с понятиями теории поля: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля.
Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.

Планируемые результаты обучения

Знать аксиоматическое определение поля вещественных чисел. Знать графики основных элементарных функций: прямая, парабола, кубическая парабола, окружность, гипербола, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их свойства.
Знать определение и методы вычисления несобственного интеграла. Уметь применять признаки сходимости несобственных интегралов. Владеть знанием основных свойств гамма-функции и бета-функции и применять их для вычисления определённых интегралов.
Знать определение предела последовательности, основные свойства пределов, замечательные пределы. Знать определение предела функции, уметь графически его интерпретировать. Уметь вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.
Знать определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции многих переменных. Уметь вычислять частные производные, а также по направлению; строить касательную плоскость и нормаль к поверхности.Уметь находить экстремум функции нескольких переменных, её наибольшее и наименьшее значения. Владеть техникой нахождения условного экстремума.
Знать правила вычисления и таблицу интегралов. Уметь выбрать подходящий способ для вычисления интеграла функции. Владеть основными методами вычисления интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, вычисление интеграла от рациональной функции. Знать замены, приводящие к интегралу от рациональной функции. Уметь вычислять с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, длину дуги, объём и площадь поверхности тела вращения.
Знать признаки сходимости числовых рядов. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенного ряда; область сходимости функционального ряда. Владеть техникой разложения функций в ряд Тейлора.
Знать таблицу производных и правила их вычисления. Владеть техникой вычисления производной функции заданной явно, неявно, параметрически. Уметь использовать правило Лопиталя для вычисления пределов.Знать разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Уметь провести исследование функции с помощью производной и построить её график. Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Студент умеет интегрировать и дифференцировать несобственные интегралы, зависящие от параметра. Вычисляет эти интегралы по формуле Фруллани, с помощью сведения к интегралам Пуассона, Дирихле, Лапласа
Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
Уметь дифференцировать и интегрировать собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра. Знать интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Уметь применять ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, интегралов, для решения дифференциальных уравнений. Уметь раскладывать в ряд Фурье четные, нечетные, функций общего вида.

Содержание учебной дисциплины

Введение в анализ
Ряды
Пределы последовательности и функции. Непрерывность функции
Несобственные интегралы и интегралы с параметром
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Интегральное исчисление функций одной переменной
Функциональные ряды. Ряды Фурье.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Теория поля

Элементы контроля

Контрольная работа
Коллоквиум
Итоговый устный опрос
Контрольная работа
Итоговый устный опрос
Контрольная работа
Итоговый устный опрос
Работа на занятиях

Промежуточная аттестация

2020/2021 учебный год 2 модуль
0.4 * Итоговый устный опрос + 0.3 * Контрольная работа + 0.3 * Коллоквиум
2020/2021 учебный год 4 модуль
0.2 * Коллоквиум + 0.3 * Контрольная работа + 0.3 * Итоговый устный опрос + 0.2 * Работа на занятиях
2021/2022 учебный год 2 модуль
0.5 * Итоговый устный опрос + 0.5 * Контрольная работа
2021/2022 учебный год 4 модуль
0.5 * Контрольная работа + 0.5 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Авторы

Галкина Светлана Юрьевна
Починка Ольга Витальевна
Медведев Тимур Владиславович

Bachelor’s Programme 'Pure and Applied Mathematics'

Calculus

Instructors

Программа дисциплины