Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 4 year, 1-3 module

Instructor

Kruglov, Vladislav

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Научный семинар, проводящийся на базе международной лаборатории динамических систем и приложений, по различным разделам математики, связанным с теорией динамических систем. Семинар ориентирован на старшекурсников, магистров, аспирантов и преподавателей, которые хотели бы расширить свой кругозор в области, как современных, так и классических математических методов в динамике.

Цель освоения дисциплины

Знакомство с современными результатами теории динамических систем

Планируемые результаты обучения

Ориентироваться в современной теории динамических систем

Содержание учебной дисциплины

Векторные поля и фазовые потоки на многообразиях
Индексы особых точек векторных полей, теорема о сумме индексов
Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Дифференциальные уравнения на торе. Повороты окружности. Теорема о равномерном распределении для иррационального поворота окружности.
Число вращения. Классификация Пуанкаре.
Динамические системы с дискретным и непрерывным временем. Связь между ними (сдвиг за единичное время, отображение Пуанкаре, надстройка, специальный поток). Основные свойства (транзитивность, минимальность, топологическое перемешивание). Примеры (потоки на торе, гиперболический автоморфизм тора).
Символическая динамика. Подкова Смейла. Растягивающие отображения окружности.
Теорема Данжуа. Пример Данжуа.
Гиперболичность особых точек и замкнутых траекторий векторных полей, неподвижных и периодических точек диффеоморфизмов. Теорема Гробмана-Хартмана. Теорема Адамара- Перрона.
Понятие структурной устойчивости. Теорема о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.
Критерий Андронова-Понтрягина структурной устойчивости векторных полей на плоскости. Структурная устойчивость линейных гиперболических автоморфизмов тора. Пример Смейла (области в пространстве С1-диффеоморфизмов, свободной от структурно-устойчивых систем).
Аналитическая теория нормальных форм. Теорема Пуанкаре-Дюлака. Области Пуанкаре и Зигеля. Теоремы Пуанкаре и Зигеля.
Гладкая теория нормальных форм. Теория Фробениуса и гомотопический метод. Теорема Стернберга о нормальной форме нерезонансного гиперболического седла.
Основные понятия теории бифуркаций. Лемма Сарда, слабая теорема трансверсальности. Бифуркации особых точек векторных полей в типичных однопараметрических семействах. Принцип сведения Шошитайшвили.
Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкая и жесткая потеря устойчивости.
Нелокальные бифуркации. Бифуркация гомоклинической петли плоского седла. Бифуркация гомоклинической траектории седло-узла.

Элементы контроля

Домашнее задание
Реферат

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 3 модуль
0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Реферат

Список литературы

Авторы

Каратецкая Ефросиния Юрьевна
Чебочко Наталья Георгиевна
Казаков Алексей Олегович
Починка Ольга Витальевна

Bachelor’s Programme 'Pure and Applied Mathematics'

Research seminar "Dynamic Systems and Applications"

Instructor

Программа дисциплины