• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Research seminar "Dynamic Systems and Applications"

2021/2022
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
5
ECTS credits

Instructor


Kruglov, Vladislav

Программа дисциплины

Аннотация

Научный семинар, проводящийся на базе международной лаборатории динамических систем и приложений, по различным разделам математики, связанным с теорией динамических систем. Семинар ориентирован на старшекурсников, магистров, аспирантов и преподавателей, которые хотели бы расширить свой кругозор в области, как современных, так и классических математических методов в динамике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с современными результатами теории динамических систем
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Ориентироваться в современной теории динамических систем
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Векторные поля и фазовые потоки на многообразиях
  • Индексы особых точек векторных полей, теорема о сумме индексов
  • Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
  • Дифференциальные уравнения на торе. Повороты окружности. Теорема о равномерном распределении для иррационального поворота окружности.
  • Число вращения. Классификация Пуанкаре.
  • Динамические системы с дискретным и непрерывным временем. Связь между ними (сдвиг за единичное время, отображение Пуанкаре, надстройка, специальный поток). Основные свойства (транзитивность, минимальность, топологическое перемешивание). Примеры (потоки на торе, гиперболический автоморфизм тора).
  • Символическая динамика. Подкова Смейла. Растягивающие отображения окружности.
  • Теорема Данжуа. Пример Данжуа.
  • Гиперболичность особых точек и замкнутых траекторий векторных полей, неподвижных и периодических точек диффеоморфизмов. Теорема Гробмана-Хартмана. Теорема Адамара- Перрона.
  • Понятие структурной устойчивости. Теорема о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.
  • Критерий Андронова-Понтрягина структурной устойчивости векторных полей на плоскости. Структурная устойчивость линейных гиперболических автоморфизмов тора. Пример Смейла (области в пространстве С1-диффеоморфизмов, свободной от структурно-устойчивых систем).
  • Аналитическая теория нормальных форм. Теорема Пуанкаре-Дюлака. Области Пуанкаре и Зигеля. Теоремы Пуанкаре и Зигеля.
  • Гладкая теория нормальных форм. Теория Фробениуса и гомотопический метод. Теорема Стернберга о нормальной форме нерезонансного гиперболического седла.
  • Основные понятия теории бифуркаций. Лемма Сарда, слабая теорема трансверсальности. Бифуркации особых точек векторных полей в типичных однопараметрических семействах. Принцип сведения Шошитайшвили.
  • Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкая и жесткая потеря устойчивости.
  • Нелокальные бифуркации. Бифуркация гомоклинической петли плоского седла. Бифуркация гомоклинической траектории седло-узла.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Реферат
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2021/2022 учебный год 3 модуль
    0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Реферат
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бычков Ю.А., Соловьева Е.Б., Щербаков С.В. - Непрерывные и дискретные нелинейные модели динамических систем: монография - Издательство "Лань" - 2018 - 420с. - ISBN: 978-5-8114-3348-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/112676
  • Ильяшенко, Ю. С. Избранные задачи теории динамических систем : монография / Ю. С. Ильяшенко. — Москва : МЦНМО, 2011. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-818-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71862 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Секованов В.С. - Элементы теории дискретных динамических систем: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2018 - 180с. - ISBN: 978-5-8114-2429-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/103912