Algebra

2023/2024

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

7

ECTS credits

Delivered at:

Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 1-3 module

Instructor

Chebochko, Natalya

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина направлена на освоение понятий и утверждений теории определителей, систем линейных уравнений и матричной алгебры; теории многочленов и комплексных чисел; основ теории линейных пространств; знакомство с теорией алгебраических систем (группа, кольцо, поле).

Цель освоения дисциплины

• Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
• Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
• Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.

Планируемые результаты обучения

• Знать определения и основные факты теории тензоров
• Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
• Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
• Знать определения и утверждения теории векторных пространств
• Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
• Знать определения и утверждения теории линейных отображений
• Знать определения и утверждения теории матриц
• Знать определения и утверждения теории многочленов
• Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
• Знать основные определения и утверждения теории групп.
• Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
• Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
• Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
• Уметь вычислять определители.
• Уметь доказывать основные результаты теории групп
• Уметь доказывать основные факты теории тензоров
• Уметь доказывать результаты из теории матриц
• Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
• Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
• Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
• Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
• Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
• Уметь доказывать результаты теории многочленов
• Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
• Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами
• Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
• Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
• Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
• Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
• Уметь находить собственные числа и векторы линейного оператора, жорданову нормальную форму и жорданов базис линейного оператора, находить минимальный многочлен линейного оператора.
• Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
• уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
• Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
• Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
• Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
• Уметь решать задачи теории групп
• Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Содержание учебной дисциплины

• Поле комплексных чисел.
• Алгебра матриц.
• Метод последовательного исключения неизвестных.
• Теория определителей.
• Системы линейных алгебраических уравнений.
• Делимость в кольце целых чисел.
• Кольцо многочленов.
• Векторные пространства.
• Линейные отображения.
• Линейные операторы
• Билинейные и квадратичные формы.
• Евклидово (унитарное) пространство.
• Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
• Тензоры.
• Группы.
• Действие группы на множестве.
• р-группы, разрешимые и простые группы.
• Задание группы образующими и соотношениями.
• Конечные абелевы группы.

Элементы контроля

• контрольная работа
• Итоговый устный опрос
  Опрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• коллоквиум
• Итоговый устный опрос
  Опрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• Итоговый устный вопрос
• контрольная работа 2 год
• Итоговый устный опрос 2 год
• Задачи повышенной сложности

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 2 модуль
  0.7 * Итоговый устный опрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа
• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.7 * Итоговый устный опрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа
• 2023/2024 учебный год 1 модуль
  0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.6 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа 2 год
• 2023/2024 учебный год 3 модуль
  0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.6 * Итоговый устный опрос 2 год + 0.15 * коллоквиум + 0.075 * контрольная работа 2 год + 0.075 * контрольная работа 2 год

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
• Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
• Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
• Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016

Авторы

• Чебочко Наталья Георгиевна