We use cookies in order to improve the quality and usability of the HSE website. More information about the use of cookies is available here, and the regulations on processing personal data can be found here. By continuing to use the site, you hereby confirm that you have been informed of the use of cookies by the HSE website and agree with our rules for processing personal data. You may disable cookies in your browser settings.

  • A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Calculus

2024/2025
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
12
ECTS credits

Instructors


Багаев Андрей Владимирович

Программа дисциплины

Аннотация

Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «Математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, таких как дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теория функций действительных переменных, теория функций комплексных переменных, вычислительные методы, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей и других
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать аксиоматическое определение поля вещественных чисел. Знать графики основных элементарных функций: прямая, парабола, кубическая парабола, окружность, гипербола, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их свойства.
  • Знать определение и методы вычисления несобственного интеграла. Уметь применять признаки сходимости несобственных интегралов. Владеть знанием основных свойств гамма-функции и бета-функции и применять их для вычисления определённых интегралов.
  • Знать определение предела последовательности, основные свойства пределов, замечательные пределы. Знать определение предела функции, уметь графически его интерпретировать. Уметь вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.
  • Знать определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции многих переменных. Уметь вычислять частные производные, а также по направлению; строить касательную плоскость и нормаль к поверхности.Уметь находить экстремум функции нескольких переменных, её наибольшее и наименьшее значения. Владеть техникой нахождения условного экстремума.
  • Знать правила вычисления и таблицу интегралов. Уметь выбрать подходящий способ для вычисления интеграла функции. Владеть основными методами вычисления интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, вычисление интеграла от рациональной функции. Знать замены, приводящие к интегралу от рациональной функции. Уметь вычислять с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, длину дуги, объём и площадь поверхности тела вращения.
  • Знать признаки сходимости числовых рядов. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенного ряда; область сходимости функционального ряда. Владеть техникой разложения функций в ряд Тейлора.
  • Знать таблицу производных и правила их вычисления. Владеть техникой вычисления производной функции заданной явно, неявно, параметрически. Уметь использовать правило Лопиталя для вычисления пределов.Знать разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Уметь провести исследование функции с помощью производной и построить её график. Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
  • Студент умеет интегрировать и дифференцировать несобственные интегралы, зависящие от параметра. Вычисляет эти интегралы по формуле Фруллани, с помощью сведения к интегралам Пуассона, Дирихле, Лапласа
  • Студент умеет исследовать на непрерывность и дифференцируемость собственные интегралы, зависящие от параметра, а также вычисляет их с помощью интегрирования и дифференцирования.
  • Студент умеет исследовать несобственные интегралы на равномерную сходимость и определяет возможность интегрирования и дифференцирования функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра.
  • Студент умеет исследовать последовательности на равномерную сходимости и умеет пользователься свойствами равномерно сходящихся последовательностей.
  • Студент умеет получать образ Фурье данной функции и строит обратное преобразование Фурье
  • Студент умеет раскладывать в степенной ряд функции с помощью интегрирования и дифференцирования, а также умеет применять технику интегрирования и дифференцирования для нахождения суммы ряда
  • Студент умеет раскладывать функции в тригонометрический ряд Фурье
  • Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
  • Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
  • Уметь дифференцировать и интегрировать собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра. Знать интеграл Фурье и преобразование Фурье.
  • Уметь применять ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, интегралов, для решения дифференциальных уравнений. Уметь раскладывать в ряд Фурье четные, нечетные, функций общего вида.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение в анализ
  • Пределы последовательности и функции. Непрерывность функции
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • Интегральное исчисление функций одной переменной
  • Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  • Ряды
  • Несобственные интегралы и интегралы с параметром
  • Функциональные ряды. Ряды Фурье.
  • Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
  • Теория поля
  • Признаки сходимости числовых рядов
  • Равномерная сходимость функциональных последовательностей
  • Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
  • Тригонометрические ряды Фурье
  • Собственные интегралы, зависящие от параметра.
  • Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
  • Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Устный опрос
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Устный опрос
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Устный опрос
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Устный опрос
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Контрольная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2023/2024 учебный год 2 модуль
    0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Устный опрос + 0.25 * Устный опрос
  • 2023/2024 учебный год 4 модуль
    0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Устный опрос + 0.25 * Устный опрос
  • 2024/2025 учебный год 2 модуль
    0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Устный опрос + 0.25 * Устный опрос
  • 2024/2025 учебный год 4 модуль
    0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Устный опрос + 0.5 * Устный опрос
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Максимова, О. Д.  Математический анализ в примерах и задачах. Предел функции : учебное пособие для вузов / О. Д. Максимова. — 2-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 200 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-07222-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/442137 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Максимова, О. Д.  Математический анализ в примерах и задачах. Предел числовой последовательности : учебное пособие для вузов / О. Д. Максимова. — 2-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 177 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-07208-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/442138 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Математический анализ в вопросах и задачах, учебное пособие, под ред. В. Ф. Бутузова, 5-е изд., испр., 480 с., Бутузов, В. Ф., Крутицкая, Н. Ч., Медведев, Г. Н., Шишкин, А. А., 2002
  • Математический анализ, учебник, Ч. 1, 7-е изд., новое доп., XII, 564 с., Зорич, В. А., 2015
  • Математический анализ. Вещественные числа и последовательности : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова, В. А. Ильин ; под общей редакцией В. А. Ильина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 109 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08472-6. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441194 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Садовничая, И. В.  Математический анализ: определенный интеграл в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 199 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06836-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441163 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Садовничая, И. В.  Математический анализ. Предел и непрерывность функции одной переменной : учебное пособие для академического бакалавриата / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко ; под общей редакцией В. А. Ильина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 115 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-08473-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441132 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Садовничая, И. В.  Математический анализ. Функции многих переменных : учебник и практикум для академического бакалавриата / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 206 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-06584-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438941 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Хорошилова, Е. В.  Математический анализ: неопределенный интеграл : учебное пособие для среднего профессионального образования / Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 187 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06949-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441157 (дата обращения: 28.08.2023).

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Капкаева, Л. С.  Математический анализ: теория пределов, дифференциальное исчисление : учебное пособие для вузов / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 246 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-04898-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438965 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Никитин, А. А.  Математический анализ. Углубленный курс : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. А. Никитин, В. В. Фомичев. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 460 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-00464-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/432899 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Потапов, А. П.  Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной в 2 ч. Часть 1 : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. П. Потапов. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 256 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-04680-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/433687 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Садовничая, И. В.  Математический анализ. Дифференцирование функций одной переменной : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 156 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06596-1. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441179 (дата обращения: 28.08.2023).

Авторы

  • Починка Ольга Витальевна
  • Медведев Тимур Владиславович
  • Галкина Светлана Юрьевна