Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1-4 module

Instructors

Galkina, Svetlana

Melnikov, I. E.

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «Математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, таких как дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теория функций действительных переменных, теория функций комплексных переменных, вычислительные методы, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей и других

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.

Планируемые результаты обучения

Знать аксиоматическое определение поля вещественных чисел. Знать графики основных элементарных функций: прямая, парабола, кубическая парабола, окружность, гипербола, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их свойства.
Знать определение и методы вычисления несобственного интеграла. Уметь применять признаки сходимости несобственных интегралов. Владеть знанием основных свойств гамма-функции и бета-функции и применять их для вычисления определённых интегралов.
Знать определение предела последовательности, основные свойства пределов, замечательные пределы. Знать определение предела функции, уметь графически его интерпретировать. Уметь вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.
Знать определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции многих переменных. Уметь вычислять частные производные, а также по направлению; строить касательную плоскость и нормаль к поверхности.Уметь находить экстремум функции нескольких переменных, её наибольшее и наименьшее значения. Владеть техникой нахождения условного экстремума.
Знать правила вычисления и таблицу интегралов. Уметь выбрать подходящий способ для вычисления интеграла функции. Владеть основными методами вычисления интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, вычисление интеграла от рациональной функции. Знать замены, приводящие к интегралу от рациональной функции. Уметь вычислять с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, длину дуги, объём и площадь поверхности тела вращения.
Знать признаки сходимости числовых рядов. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенного ряда; область сходимости функционального ряда. Владеть техникой разложения функций в ряд Тейлора.
Знать таблицу производных и правила их вычисления. Владеть техникой вычисления производной функции заданной явно, неявно, параметрически. Уметь использовать правило Лопиталя для вычисления пределов.Знать разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Уметь провести исследование функции с помощью производной и построить её график. Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Студент умеет интегрировать и дифференцировать несобственные интегралы, зависящие от параметра. Вычисляет эти интегралы по формуле Фруллани, с помощью сведения к интегралам Пуассона, Дирихле, Лапласа
Студент умеет исследовать на непрерывность и дифференцируемость собственные интегралы, зависящие от параметра, а также вычисляет их с помощью интегрирования и дифференцирования.
Студент умеет исследовать несобственные интегралы на равномерную сходимость и определяет возможность интегрирования и дифференцирования функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Студент умеет исследовать последовательности на равномерную сходимости и умеет пользователься свойствами равномерно сходящихся последовательностей.
Студент умеет получать образ Фурье данной функции и строит обратное преобразование Фурье
Студент умеет раскладывать в степенной ряд функции с помощью интегрирования и дифференцирования, а также умеет применять технику интегрирования и дифференцирования для нахождения суммы ряда
Студент умеет раскладывать функции в тригонометрический ряд Фурье
Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
Уметь дифференцировать и интегрировать собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра. Знать интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Уметь применять ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, интегралов, для решения дифференциальных уравнений. Уметь раскладывать в ряд Фурье четные, нечетные, функций общего вида.

Содержание учебной дисциплины

Введение в анализ
Пределы последовательности и функции. Непрерывность функции
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Ряды
Несобственные интегралы и интегралы с параметром
Функциональные ряды. Ряды Фурье.
Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Теория поля
Признаки сходимости числовых рядов
Равномерная сходимость функциональных последовательностей
Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
Тригонометрические ряды Фурье
Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Преобразование Фурье.

Элементы контроля

Colloquium
In-class assignment
Colloquium
Colloquium
Oral interview

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.25 * Colloquium + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * Oral interview
2024/2025 4th module
0.25 * Colloquium + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * Oral interview
2025/2026 2nd module
0.25 * Colloquium + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * In-class assignment + 0.25 * Oral interview
2025/2026 4th module
0.25 * In-class assignment + 0.25 * In-class assignment + 0.5 * Oral interview

Список литературы

Авторы

Починка Ольга Витальевна
Галкина Светлана Юрьевна
Медведев Тимур Владиславович

Bachelor’s Programme 'Mathematics'

Calculus

Instructors

Программа дисциплины