Scientific seminar of laboratory "Dynamical systems and applications"

According to Thurston's classification, the set of homotopy classes of homeomorphisms defined on closed orientable surfaces of negative curvature is split into four disjoint subsets. A homotopy class from each subset is characterized by the existence of a homeomorphism belonging to this class, called the Thurston canonical form and which is exactly one of the following types, respectively:
periodic homeomorphism, reducible nonperiodic
homeomorphism of algebraically finite order, reducible homeomorphism that is not a homeomorphism of algebraically finite order, pseudo-Anosov homeomorphism. Thurston's canonical forms are not structurally stable diffeomorphisms. Therefore, the problem naturally arises of constructing the simplest (in a certain sense) structurally stable diffeomorphisms in each homotopy class.
In each homotopy class from the first subset A.N. Bezdezhnykh and V.Z. Grines constructed a gradient-like diffeomorphism. R.V. Plykin and A. Yu. Zhirov announced a method for constructing a structurally stable diffeomorphism in each homotopy class from the fourth subset. The non-wandering set of this diffeomorphism consists of a finite number of source orbits and a single one-dimensional attractor. In this paper, we describe the construction of a structurally stable diffeomorphism in each homotopy class from the second subset. The constructed representative is a Morse-Smale diffeomorphism with an orientable heteroclinic intersection.

Summary of dissertation (PDF, 260 Кб)

Негладкие системы могут демонстрировать динамику и бифуркации, кардинально отличающиеся от их гладких аналогов. В этом докладе рассматриваются такие гомоклинические бифуркации в кусочно-гладкой системе лоренцевского типа, которая недавно была представлена в работе [Belykh et al., Chaos 29, 103108 (2019)]. С помощью строгого анализа показано, что появление скользящих движений приводит к новому неожиданному бифуркационному сценарию, когда в результате бифуркаций гомоклинических орбит седла с положительной седловой величиной рождаются устойчивые периодические орбиты. Эти бифуркации абсолютно противоположны своим гладким аналогам, которые порождают только неустойчивую (седловую) динамику. Построено отображение Пуанкаре, которое учитывает наличие скользящих движений и строго определяет последовательность скользящих гомоклинических бифуркаций, приводящих к рождению хаотического аттрактора лоренцевского типа. В частности, в явном виде получен скейлинг-фактор для бифуркаций удвоения периода, связанных с многообходными гомоклиническими орбитами и образованием квазистранного аттрактора. Рассмотренные в этом докладе аналитические результаты закладывают основу для развития неклассической теории глобальных бифуркаций в негладких потоках.

Сильно нелинейные цепочки и уравнения в частных производных характерны тем, что в них нет линейных волн. Сначала на примере простейших моделей иллюстрируются компактоны (уединенные волны имеющие конечный носитель) в таких системах. Затем обсуждаются волны при полиномиальной нелинейности, как в уравнении Гарднера.

Негладкие системы могут демонстрировать динамику и бифуркации, кардинально отличающиеся от их гладких аналогов. В этом докладе рассматриваются такие гомоклинические бифуркации в кусочно-гладкой системе лоренцевского типа, которая недавно была представлена в работе [Belykh et al., Chaos 29, 103108 (2019)]. С помощью строгого анализа показано, что появление скользящих движений приводит к новому неожиданному бифуркационному сценарию, когда в результате бифуркаций гомоклинических орбит седла с положительной седловой величиной рождаются устойчивые периодические орбиты. Эти бифуркации абсолютно противоположны своим гладким аналогам, которые порождают только неустойчивую (седловую) динамику. Построено отображение Пуанкаре, которое учитывает наличие скользящих движений и строго определяет последовательность скользящих гомоклинических бифуркаций, приводящих к рождению хаотического аттрактора лоренцевского типа. В частности, в явном виде получен скейлинг-фактор для бифуркаций удвоения периода, связанных с многообходными гомоклиническими орбитами и образованием квазистранного аттрактора. Рассмотренные в этом докладе аналитические результаты закладывают основу для развития неклассической теории глобальных бифуркаций в негладких потоках.

В докладе будут рассмотрены свойства монотонности топологической энтропии и нидинг-инвариантов для семейств одномерных симметричных отображений лоренцевского типа  с бесконечными производными в точках разрыва. Такие отображения возникают в качестве фактор-отображений в геометрической модели аттрактора Лоренца, предложенной Афраймовичем, Быковым и Шильниковым.
В докладе будет предложен критерий монотонности топологической энтропии и с помощью данного критерия будет аналитически доказано монотонное поведение топологической энтропии и нидинг-инвариантов  в соответствующей области на плоскости параметров для семейства лоренцевских отображений вида Tc,v(x)=(-1+c|x|v)∙sign(x).  Также для семейства отображений Tc,v(x) будет приведена бифуркационная диаграмма на плоскости параметров и дана её интерпретация в терминах динамики системы дифференциальных уравнений, имеющей аттрактор Лоренца.

Изучаются структура и бифуркации множества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к  неподвижной точке типа сложное седло. Построена бифуркационная диаграмма на плоскости управляющих параметров, которая содержит только одну бифуркационную кривую, отвечающей в точности бифуркациям неподвижной точки. Описано новое бифуркационное явление «скачка гиперболичности», когда, в результате одной только локальной седло-узловой бифуркации неподвижной точки, нетривиальное гиперболическое множество скачком меняет свое местоположение.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях.

В докладе будут представлены классические и новые результаты о существовании инерциальных многообразий (ИМ) в классе полулинейных параболических уравнений. Как известно, для существования этих многообразий необходимо разделить зависимую переменную на быструю и медленную компоненты, что обычно делается при помощи условия на щель в спектре для главной линейной части рассматриваемого уравнения. Также известно, что, даже в идеальных модельных примерах, щель в спектре недостаточно велика, чтобы гарантировать C^2-гладкость полученного многообразия (соответствующие примеры также хорошо известны).

В докладе будет предложен новый подход к проблеме гладкости, который позволяет расширить построенное (негладкое) ИМ до C^k-гладкого многообразия, а также поправить исходную динамическую систему вне исходного ИМ так, чтобы новое многообразие оставалось инвариантным, а исходное ИМ было бы его нормально гиперболическим подмногообразием. Конструкция расширения базируется на классической теореме Уитни о продолжении гладких функций и предположении о существовании достаточного числа «маленьких» щелей в спектре, которое обычно не является существенным ограничением в приложениях.

The report consists of two parts. The first part is devoted to symbolic methods for measuring the complexity of chaos in two canonical systems: Lorentz and Ressler. Having developed the approaches and methods in the first part, we compare the chaos in the original models with the chaos simulated by neural networks based on the "reservoir computing"method.

We study bifurcation mechanisms of the appearance of hyperchaotic attractors in three-dimensional maps. We consider, in some sense, the simplest cases when such attractors are homoclinic, i.e. they contain only one saddle fixed point and entirely its unstable manifold. We assume that this manifold is two-dimensional, which gives, formally, a possibility to obtain two positive Lyapunov exponents for typical orbits on the attractor (hyperchaos). For the realization of this possibility, we propose several bifurcation scenarios of the onset of homoclinic hyperchaos that include cascades of both supercritical period-doubling bifurcations with saddle periodic orbits and supercritical Neimark-Sacker bifurcations with stable periodic orbits, as well as various combinations of these cascades. In the paper, these scenarios are illustrated by an example of three-dimensional Mira map.

Compactons are studied in the framework of the Korteweg{de Vries (KdV) equation with the sublinear nonlinearity. Compactons represent localized bell-shaped waves of either polarity which propagate to the same direction as waves of the linear KdV equation. Their amplitude and width are inverse proportional to their speed. The energetic stability of compactons with respect to compact perturbations with the same support is proven analytically. Dynamics of compactons is studied numerically, including evolution of pulse-like disturbances and interactions of compactons of the same or opposite polarities. Compactons interact inelastically, though almost restore their shapes after collisions. Compactons play a two-fold role of the long-living solitonlike structures and of the small-scale waves which spread the wave energy.

In this paper, we consider a class of orientation-preserving Morse-Smale diffeomorphisms defined on an orientable surface. In papers by A.A. Bezdenezhnykh and V.Z. Grines showed that such diffeomorphisms have a finite number of heteroclinic orbits. In addition, the classification problem for such diffeomorphisms is reduced to the problem of distinguishing orientable graphs with substitutions describing the geometry of a heteroclinic intersection. However, such graphs generally do not admit polynomial discriminating algorithms. This article proposes a new approach to the classification of these cascades. For this, each diffeomorphism under consideration is associated with a graph that allows the construction of an effective distinguish algorithm. We also identified a class of admissible graphs, each isomorphism class of which can be realized by a diffeomorphism of a surface with an orientable heteroclinic. The results obtained are directly related to the realization problem of homotopy classes of homeomorphisms on closed orientable surfaces. In particular, they give an approach to constructing a representative in each homotopy class of homeomorphisms of algebraically finite type according to the Nielsen classification, which is an open problem today. 

There is a natural question in the dynamical systems theory: does some manifold admit an A-diffeomorphism with exactly two basic sets of the same dimension and attractor-repeller dynamics? Such a diffeomorphism is automatically Omega-stable. The simplest example of such a system is a Morse-Smale diffeomorphism on n-sphere (n>=1) whose non-wandering set consists of exactly one sink and one source. These examples are structurally stable and exhaust all possible diffeomorphisms with zero-dimensional attractor and repeller.

For an attractor and repeller with the dimension 2k also not so difficult to realize a diffeomorphism on n-manifold (n>2k) as a direct product of Anosov diffeomorphism on 2k-torus with the type (k,k) by sink-source diffeomorphism on (n-2k)-sphere. Moreover, for 3-manifolds by V. Grines, Yu. Levchenko, V. Medvedev, O. Pochinka [1] proved that two-dimensional attractor-repeller 3-diffeomorphisms there are only on mapping torus and obtained complete topological classification of such rough systems.

Particular case is a surfaces diffeomorphism with one-dimensional attractor and repeller. Such dynamics is achieved, for example, by taking of the connected sum of two DA-models on 2-tori. However R. Robinson, R. Williams [2] proved that among such diffeomorphisms there are no structural stable one.

B. Jiang, Y. Ni and S. Wang [3] proved that a 3-manifold M admits an axiom A diffeomorphism f whose non-wandering set consists of solenoid attractors and repellers if and only if M is a lens space L(p, q) with p<=0. They also shown that such f are not structural stable.

On the other hand, due to Ch. Bonatti, N. Guelman [4], Shi Yi [5], there are examples of rough 3-diffeomorphisms with one-dimensional attracor and repeller. But all examples have very complicated descriptions.

An alternative scheme of stable 3-diffeomorphisms with one-dimensional attractor and repeller is proposed. The result was obtained by a team of Russian scientists M.K. Barinova, V.Z. Grines, O.V. Pochinka in collaboration with the Chinese mathematician B. Yu.

[1] V. Grines, Y. Levchenko, V. Medvedev, O. Pochinka. The topological classification of structural stable 3-diffeomorphisms with two-dimensional basic sets, (Nonlinearity) 28, 2015 No.11, 4081--4102.
[2] R. Robinson, R. Williams. Finite Stability is not generic. Academic Press, New York. Dynamical Systems ((Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)), 1973. 451--462.
[3] B. Jiang, Y. Ni, S. Wang. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors. Trans.
Amer. Math. Soc. 2005. V. 356 (11), 4371--4382.
[4] C. Bonatti, N. Guelman. Axiom A diffeomorphisms derived from Anosov flows. J. Mod. Dyn. 2010. V. 4 (1), 1--63.
[5] Y. Shi. Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps. C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2014. V. 352 (9), 743--747.

We consider a time delay system whose excitation parameter is periodically modulated. Each new stage of the excitation is seeded via a delayed feedback from a stage before the last, and due to nonlinearity the seeding arrives with a doubled phase. As a result, the system operates as two coupled hyperbolic chaotic subsystems. Varying the relation between the delay time and the excitation period we affect a coupling strength between these subsystems as well as intensity of the phase doubling mechanism responsible for the hyperbolicity. Due to this, a transition from non-hyperbolic to hyperbolic hyperchaos occurs. The following steps of the transition scenario are revealed and analyzed: (a) an intermittency as alternation of staying near a fixed point and chaotic bursts; (b) wandering between the fixed point and chaotic subset that appears near it; (c) plain hyperchaos without hyperbolicity after termination visiting the fixed point; (d) transformation of hyperchaos to hyperbolic form.

Мы строим автономную систему дифференциальных уравнений низкой размерности с однородно гиперболическим аттрактором типа Смейла-Вильямса в сечении Пуанкаре. Уравнения получаются заменой вещественных переменных комплексными в автоколебательной системе с гомоклиническими петлями седлового положения равновесия. Четырехмерное фазовое пространство системы содержит седло в начале координат. У седла два положительных равных собственных числа и два отрицательных равных собственных числа, при прохождении траектории рядом с седлом угловая переменная (аргумент комплексной переменной) подвергается отображению Бернулли.

Мы называем сделанное нами наблюдение динамики траекторий "рассеянием" на седле. Траектории приближаются к седлу и удаляются от него, при этом в сечении Пуанкаре формируется аттрактор типа Смейла -- Вильямса. Наша модель не описывает конкретный физический процесс, однако по виду близка к уравнениям для комплексных амплитуд, описывающим огибающие волн или пространственные гармоники Фурье распределенной системы.

Мы показываем с помощью численных расчетов, что возникающий хаотический аттрактор действительно близок к соленоиду Смейла-Вильямса. Так же мы приводим несколько других примеров автономных систем с комплексными переменными, в которых аттрактор типа Смейла-Вильямса формируется описанным способом.

We show that every isotopic to identity symplectomorphism of a unit 2n-dimensional ball B²ⁿ onto its image in R²ⁿ can be approximated by a symplectic polynomial automorphism of R²ⁿ restricted to B²ⁿ. We also prove a similar result for symplectomorphisms of an annulus  Tⁿ times  Rⁿ. 

Chaotic foliations generalize Devaney’s concept of chaos for dynamical systems. The property of a foliation to be chaotic is transversal. The existence problem of chaos for a Cartan foliation is reduced to the corresponding problem for its holonomy pseudogroup of local automorphisms of a transversal manifold. Chaotic foliations with transversal Cartan structures are investigated. A Cartan (F; X )-foliation (M; F ) that admits an Ehresmann connection is covered by a locally trivial bundle, and the global holonomy group of (M; F ) is defined. In this case, the problem is reduced to the level of the global holonomy group of the foliation, which is a countable discrete subgroup of the Lie group of automorphisms of some simply connected Cartan (F;X)-manifold. Several classes of Cartan foliations that do not admit chaos are indicated. Examples of chaotic Cartan foliations are constructed.

Known and new results of the study of helical (shilnikovsky) chaos in the classical three-dimensional Ressler system will be reported, which are being prepared for publication in the special issue of the journal Chaos, dedicated to the 80th anniversary of O. Ressler.

We study sparse representations and sparse approximations with respect to redundant dictionaries and bases. We address the problem of designing and analyzing greedy methods of approximation. A key question in this regard is: How to design an efficient algorithm?

Answering this question we consider different greedy-type algorithms with respect to different systems. An important ingredient of our study is that we perform our analysis not only in a Hilbert space but also in a Banach space. It is known that in many numerical problems users are satisfied with a Hilbert space setting and do not consider a more general setting in a Banach space. There are known arguments that justify interest in Banach spaces.

The generalized logistic equation is used to interpret the COVID-19 epidemic data in several countries: Austria, Switzerland, the Netherlands, Italy, Turkey and South Korea. The model coefficients are calculated: the growth rate and the expected number of infected people, as well as the exponent indexes in the generalized logistic equation. It is shown that the dependence of the number of the infected people on time is well described on average by the logistic curve (within the framework of a simple or generalized logistic equation) with a determination coefficient exceeding 0.8. At the same time, the dependence of the number of the infected people per day on time has a very uneven character and can be described very roughly by the logistic curve. To describe it, it is necessary to take into account the dependence of the model coefficients on time or on the total number of cases. Variations, for example, of the growth rate can reach 60%. The variability spectra of the coefficients have characteristic peaks at periods of several days, which corresponds to the observed serial intervals. The use of the stochastic logistic equation is proposed to estimate the number of probable peaks in the coronavirus incidence.

The problem of the existence of an arc with no more than a countable (finite) number of bifurcations connecting structurally stable systems (Morse-Smale systems) on manifolds is on the list of fifty Palis-Pugh problems under number 33.

In 1976, S. Newhouse, J. Palis, F. Takens  introduced the concept of a stable arc connecting two structurally stable systems on a manifold. Such an arc does not change its quality properties with a little perturbation. In the same year, S. Newhouse and M. Peixoto  proved the existence of a simple arc (containing only elementary bifurcations) between any two Morse-Smale flows. For Morse-Smale diffeomorphisms given on manifolds of any dimension, examples of systems that cannot be connected by a stable arc are known.

In this direction, the question naturally arises of finding an invariant that uniquely determines the equivalence class of the Morse-Smale diffeomorphism with respect to the relation of the connection by a stable arc. In the report we give an answer to the question for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere is obtained. We prove that there exists  countable many of equivalence classes of such systems.

The problem of the existence of an arc with no more than a countable (finite) number of bifurcations connecting structurally stable systems (Morse-Smale systems) on manifolds is on the list of fifty Palis-Pugh problems under number 33.

In 1976, S. Newhouse, J. Palis, F. Takens  introduced the concept of a stable arc connecting two structurally stable systems on a manifold. Such an arc does not change its quality properties with a little perturbation. In the same year, S. Newhouse and M. Peixoto  proved the existence of a simple arc (containing only elementary bifurcations) between any two Morse-Smale flows. For Morse-Smale diffeomorphisms given on manifolds of any dimension, examples of systems that cannot be connected by a stable arc are known.

In this direction, the question naturally arises of finding an invariant that uniquely determines the equivalence class of the Morse-Smale diffeomorphism with respect to the relation of the connection by a stable arc. In the report we give an answer to the question for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere is obtained. We prove that there exists  countable many of equivalence classes of such systems.

It is well known that an analytic map that is close to the same can be formally represented as a shift per unit of time along the trajectories of a vector field. Usually a vector field is constructed as a series with a small parameter. This uses a combination of the averaging method with a sequence of coordinate substitutions. In a general situation, the series diverge, but the interpolation error can be made exponentially small (the Neishtadt`s theorem).

In this report, we will discuss the method of discrete averaging, which allows us to make constructions without involving coordinate substitutions in terms of weighted averages along the mapping paths. We will discuss the theory of formal series, give a new proof of Neustadt's theorem, and show how the new method is related to interpolation theory.

We investigate bifurcations of a three-fold degenerate periodic trajectory with multipliers (-1, i,-i) and show, in particular, that these bifurcations can lead to the birth of discrete Lorentz attractors. The problem is reduced to the study of the flow normal form - a system of three differential equations with Z4-symmetry, for which we establish the existence of both a classical Lorentz attractor and a new type of Lorentz attractor (which occurs not due to separatrix rearrangements, but due to saddle-node bifucations). We also discuss a new type of Shilnikov criteria for the occurrence of the Lorentz attractor.

We investigate bifurcations of a three-fold degenerate periodic trajectory with multipliers (-1, i,-i) and show, in particular, that these bifurcations can lead to the birth of discrete Lorentz attractors. The problem is reduced to the study of the flow normal form - a system of three differential equations with Z4-symmetry, for which we establish the existence of both a classical Lorentz attractor and a new type of Lorentz attractor (which occurs not due to separatrix rearrangements, but due to saddle-node bifucations). We also discuss a new type of Shilnikov criteria for the occurrence of the Lorentz attractor.

We study geometrical and dynamical properties of recently discovered strange attractors of new types, the so-called discrete Lorenz-like attractors, that can exist in three-dimensional maps - diffeomorphisms. We discuss new phenomenological scenarios of their appearance in one-parameter families of such maps and also provide examples of the realization of these scenarios. We pay especially our attention to such a scenario that can lead to the appearance of attractors of new types, the so-called period-2 Lorenz-like attractors. These attractors have very interesting dynamical properties and we show that their crises can lead, in turn, to the emergence of discrete Lorenz shape attractors of new types. We also show examples of all these attractors in three-dimensional generalized Henon maps.

We consider several examples of two-dimensional discrete-time dynamical systems demonstrating overlapping attractor and repeller. These systems are constructed via introducing controllable dissipation to prototypic models with chaotic dynamics (Anosov cat map, Chirikov standard map) and ergodic non-chaotic behavior (skew shift map). We employ the Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance to characterize difference between the attractor and the repeller. This distance is followed for different degrees of the dissipation parameter. 

Уравнениями Пенлеве называются нелинейные алгебраические дифференциальные
уравнения второго порядка которые допускают понятие общего решения (свойство Пенлеве).
Известно что есть шесть типов таких уравнений; P-I,…, P-VI. Уравнения типа P-II,…,P-VI зависят
от некоторых параметров, и соответственно допускают симметрии, называемые преобразованиями
Бэклунда, которые переводят решения одного уравнения Пенлеве в решения другого уравнения
того же типа, но с некоторыми другими значениями параметров. Эти преобразования имеют очень
красивую алгебраическую структуру (структуру афинной группы Вейля) понять которую помогает
геометрический объект (поверхность Окамото начальных условий). Мы рассмотрим эти конструкции
на примерах уравнений P-II и P-IV и посмотрим на некоторые конкретные приложении этих алгебро-
геометрических идей.

Topological classification of Morse-Smale and Omega-stable flows in sense of topological equivalence has a rich history. The invariants of Leontovich-Mayer, Peixoto, Oshemkov-Sharko, Neumann-O'Brien, Kruglov-Malyshev-Pochinka are known. Attempts were also made to classify such flows in sense of topological conjugacy, in particular, V. Kruglov and O. Pohcinka proved that the classes of topological equivalence and topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces coincide.

J. Palis showed that the presence of a connecting separatrix implies continuum of topological conjugacy classes in each class of topological equivalence, that is, a flow with a separatrix-connection has modules. Each limit cycle likewise generates at least one module associated with its period. The report will show that the presence of a flow cell limited by two limit cycles leads to infinite number of moduli of stability.

Topological classification of Morse-Smale and Omega-stable flows in sense of topological equivalence has a rich history. The invariants of Leontovich-Mayer, Peixoto, Oshemkov-Sharko, Neumann-O'Brien, Kruglov-Malyshev-Pochinka are known. Attempts were also made to classify such flows in sense of topological conjugacy, in particular, V. Kruglov and O. Pohcinka proved that the classes of topological equivalence and topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces coincide.

J. Palis showed that the presence of a connecting separatrix implies continuum of topological conjugacy classes in each class of topological equivalence, that is, a flow with a separatrix-connection has modules. Each limit cycle likewise generates at least one module associated with its period. The report will show that the presence of a flow cell limited by two limit cycles leads to infinite number of moduli of stability.

Рассмотрим следующую задачу. Предположим, что на некотором дискретном наборе точек на прямой, скажем на натуральных числах, задана некоторая весовая функция н мы хотим построить набор многочленов, ортогональных относительно данноговеса. Это можно делать с помощью стандартной процедуры Грама-Шмидта, но она не эффективна.

Более быстрый подход состоит в использовании рекурсивной процедуры, основанной на так называемом трехчленном линейном соотношении. Но  для многих весов коэффициенты этого соотношения сложным образом зависят от  шага рекурсии. Мы рассмотрим один такой пример, где эта зависимость оказывается  заданной дискретным уравнением Пенлеве, и покажем, как общая алгебро-геометрическая теория уравнений Пенлеве помогает эффективно работать с задачами такого типа.

Оказывается, что класс важных прикладных задач, в которых возникают дискретные уравнения Пенлеве, достаточно велик. Одной из целей доклада будет показать, как узнавать и приводить к стандартному виду уравнения этого типа.

Topological classification of Morse-Smale and Omega-stable flows in sense of topological equivalence has a rich history. The invariants of Leontovich-Mayer, Peixoto, Oshemkov-Sharko, Neumann-O'Brien, Kruglov-Malyshev-Pochinka are known. Attempts were also made to classify such flows in sense of topological conjugacy, in particular, V. Kruglov and O. Pohcinka proved that the classes of topological equivalence and topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces coincide.

J. Palis showed that the presence of a connecting separatrix implies continuum of topological conjugacy classes in each class of topological equivalence, that is, a flow with a separatrix-connection has modules. Each limit cycle likewise generates at least one module associated with its period. The report will show that the presence of a flow cell limited by two limit cycles leads to infinite number of moduli of stability.

Будут рассмотрены методы вычисления локальных (конечновременных) и мгновенных показателей Ляпунова, матрицы ляпуновской диффузии, ковариантных ляпуновских векторов а также углов между касательными подпространствами. Будут приведены примеры использования характери-стических объектов ляпуновского анализа для исследования хаотической динамики. В частности, будет рассмотрен метод численной проверки гиперболичности и псевдогиперболичности.

Лекция 1: Введение в теорию показателей Ляпунова

Лекция 2: Методы вычисления максимального показателя Ляпунова для непрерывных и дискретных систем

Лекция 3: Методы вычисления спектра показателей Ляпунова для непрерывных и дискретных систем

Лекция 4: Методы вычисления ковариантных ляпуновских векторов

Лекция 5: Численные методы проверки гипербол

The collapse of a magnetic field in a neighbourhood of the zero point creates a large electric current. Motion in the surrounding plasma can lead to magnetic reconnection of magnetic lines, which play a large role in the study of astrophysical phenomena. The report presents an elegant method that allows us to show that linear three-dimensional zero points tend to collapse with the growth of either a spine current, or a fan current, or a combination thereof. The collapse rate is determined for an incompressible plasma flow with open boundary conditions.

It is well known that in dimension two there are no wild arcs. In dimension three such examples exist and they can be realized as invariant sets of a discrete dynamical system (for example, the Pixton diffeomorphism), in contrast to regular three-dimensional flows that do not possess wild invariant sets. Four dimension is much more complicated, here wild objects appear both in discrete and in continuous dynamics. Despite the fact that in this dimension there are no wild arcs, there are wild objects of codimension two. For example, the closure of a two-dimensional saddle separatrix can be wild for a four-dimensional Morse-Smale system (diffeomorphism or flow). Such examples were recently constructed by V.S. Medvedev and E.V. Zhuzhoma. T.V. Medvedev and O.V. Pochinka showed that the wild two-dimensional Artin-Fox sphere appears as the closure of the heteroclinic intersection of the four-dimensional Morse-Smale diffeomorphism.
In the present report, it will be shown that the add-in of a non-trivial Pixton diffeomorphism is a four-dimensional flow with a wildly embedded three-dimensional invariant manifold of a periodic orbit with a continuum wild points. In addition, it will be shown that there is an infinite number of different wild superstructures, and also a complete classification of superstructures over diffeomorphisms of the Pixton class is given.