Курсы летней математической школы "Интеллектуал"

Доклад о классическом результате А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина касательно непрерывных динамических систем на плоскости. Определение и критерий грубости системы, то есть неизменности относительно качественного поведения траекторий.

В докладах будут рассмотрены три замечательные теоремы о выпуклых многогранниках, как, например: теорема Эйлера, связывающая количество рёбер, вершин и граней многогранника; теорема Коши о единственности развёртки, задающей многогранник (аналогичный факт для многоугольников неверен: только треугольник однозначно задаётся своими сторонами); теорема Александрова, дающая простые достаточные условия, когда из набора многоугольников можно склеить выпуклый многогранник.

Аппарат эллиптических кривых имеет широкое применение в различных областях математики, например в абстрактной и вычислительной теории чисел. Эллиптические кривые помогают в вопросах, связанных с простыми числами и разложением на множители. Сейчас возрастает популярность эллиптических кривых в современной криптографии. На занятиях мы познакомимся с основными понятиями теории эллиптических кривых и их приложениями в криптографии и теории чисел.

Сюжет 1. Пифагор и его школа: что мы в действительности знаем, а что является многократно повторяемыми мифами? Сюжет 2. Николай Иванович Лобачевский. Краткая история открытия неевклидовой геометрии. Является ли Н.И. Лобачевский её первооткрывателем? О загадках биографии Лобачевского. Сюжет 3. Джироламо Кардано и задача о корнях кубического уравнения.

Кратко прослеживается история возникновения счёта, т. е. появления положительных целых и дробных чисел, и история становления привычной для нас (позиционной десятичной) системы записи чисел. Затем обсуждается аксиоматический путь построения математических теорий и коротко излагается аксиоматика натурального ряда («аксиомы Пеано»). После этого рассказывается об истории расширений числовых областей, мотивированных разными задачами. В частности, аккуратно строится теория комплексных чисел. Завершает лекцию теорема Фробениуса.

Описывается методика приближённого вычисления следующих величин: коэффициент заметности комаров для жилого помещения небольшой площади (комнаты); число спрятавшихся в недоступных глазу местах комнаты комаров; общее число комаров в комнате; число раз за ночь, которое комары спящего в комнате человека разбудят. Приводятся соответствующие расчётные формулы и графики исследуемых величин. Обсуждаются квантово-механический, статистический и теоретико-игровой способы трактовки результатов.

Современная архитектура стремится к разнообразию конструкций и примитивные прямоугольные постройки уходят в прошлое. Создание оригинальных архитектурных форм основано на возможности разбиения изогнутой поверхности на части легко воспроизводимой формы, например ограниченные окружностями или прямыми. Революционным событием в этом направлении следует считать конструкцию Шуховской башни, в основе которой лежит классический геометрический результат о существовании двух прямых, проходящих через каждую точку однополостного гиперболоида. Говоря современным математическим языком, поверхность однополостного гиперболоида допускает два-ткань из прямых. В лекции будет дан обзор различных архитектурных конструкций, реализующих два-ткани из прямых и окружностей. Будет показано, как современный дизайн связан с новейшими достижениями в области математики.

Доклад посвящен исследованию вопроса, что можно построить с помощью циркуля и линейки. В частности, будут рассмотрены классические задачи о невозможности построения некоторых фигур.

Практикующий врач-кардиолог проведет мастер-класс по снятию кардиограммы и ее математическому описанию.

На лекции будет на популярном уровне изложены основные идеи вариационного исчисления и дифференциальной геометрии, связанные с определением кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности.

Мастер-класс представляет собой знакомство с одной из важнейших областей математики — теорией функции комплексного переменного (или, как её сейчас называют, комплексным анализом). Хотя её изучают на третьем курсе математических направлений вузов, на занятиях будет сделана попытка доступно и неформально погрузиться в неё, имея лишь школьные знания по математике, поскольку это одна из красивейших и самых востребованных классических математических дисциплин

На данных занятиях мы разберемся с тем, что же такое параметр и как он влияет на линейные и квадратные уравнения или неравенства. Определим, что значит решить или исследовать (то есть найти количество решений) систему уравнений или неравенств. Нужно понимать, что решение задач с параметрами всегда требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи, здесь недостаточно механического использования формул. Поэтому наше занятие мы начнём с того, что вспомним основные свойства различных функций. Посмотрим, за что отвечает каждый параметр, входящий в общий вид функций. Для наилучшего понимания проиллюстрируем всё это графически. После этого рассмотрим аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами. А также научимся применять знания про ограниченность функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств, и использовать симметрию аналитических выражений.

Проект посвящен исследованию одной задачи, предложенной на собеседовании в компанию Яндекс, решение которой требует знание таких областей математики, как комбинаторика, теория вероятностей и динамические системы.

Одномерные модели размножения популяций Т. Мальтуса и П. Ферхюльста начала и середины XIX века объясняли эффекты взрывного характера размножения популяций и процессы насыщения. Бифуркационные диаграммы описывали последовательный переход от вырожденных решений (вымирание популяции) к устойчивым стационарным режимам, потом к колебательным режимам с последовательным удвоением периода и, затем, к области хаотической динамики.

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования. Участники проекта ознакомятся с классическими фракталами, научатся вычислять их размерность и научатся строить свои фракталы по заданным параметрам.

В рамках проекта будет введено понятие гомеоморфизма, топологических инвариантов и топологической классификации. Будут изучаться замкнутые поверхности. Будем учиться вычислять эйлерову характеристику поверхностей. Предполагается получить топологическую классификацию букв русского алфавита.