Аннотации лекций

Простейшие математические модели распространения коронавируса

Е.Н. Пелиновский

О мозаиках Пенроуза, квазикристаллах и фракталах

А. Городецкий

В первом приближении о кристаллах можно думать как о периодических замощениях плоскости (или пространства) молекулами-полигонами (или молекулами-многогранниками). А можно ли подобрать такие молекулы-полигоны, чтобы ими можно было замостить плоскость без "дыр" и наложения полигонов друг на друга, но так, чтобы это замощение не было периодическим? Оказывается, что это возможно, и примером таких замощений являются мозаики Пенроуза. И более того, существуют такие сплавы (их принято называть квазикристаллами), в которых молекулы действительно располагаются именно таким образом. Физические и химические свойства квазикристаллов хорошо изучены экспериментально. Но попытки увидеть, как эти свойства следуют непосредственно из геометрии квазикристаллов (а для этого надо понять, каковы свойства решений соответствующего уравнения Шредингера) в общем случае пока остаются безуспешными. В некоторых частных случаях, впрочем, ответ получен. А именно, для описания свойств решений уравнения Шредингера надо понять спектральные свойства соответствующего оператора Шредингера, и, скажем, в случае одномерных квазикристаллов его спектр будет фрактальным (канторовым) множеством. Тому, как все эти понятия связаны друг с другом и со многими другими областями математики, и будет посвящен доклад.

Rhythm-generating neural networks

A. Shilnikov

Геометрические прогрессии со случайными знаками и случайная динамика

Виктор Клепцын

Spectral theory and the asymptotics of linear dynamics

Jochen Glück

Двойственность Понтрягина -- ван Кампена для локально компактных коммутативных групп

С. Максименко

Пусть S¹ -- единичная окружность в комплексной плоскости. Тогда относительно умножения комплексных чисел S¹ является коммутативной группой, которая также обозначается как U(1), SO(2) или R/Z.

Пусть также G -- какая-нибудь локально компактная (например, конечная, дискретная или компактная) Хаусдорфова топологическая коммутативная группа. Тогда каждый непрерывный гомоморфизм p:G → S¹ называется характером группы G. Обозначим через G^* множество всех характеров группы G. Из коммутативности группы G легко вытекает, что G^* является группой относительно поточечного сложения характеров, т.е. для любых p,s из G^* их сумма определяется как (p+s)(g) := p(g) + s(g).

На группе G^* можно ввести "естественную" топологию, в которой сложение характеров окажется непрерывной операцией. Другими словами G^* превращается в коммутативную топологическую группу, причем эта группа также локально компактна так же как и G. Поэтому можно рассмотреть группу характеров G^** группы G^* . Тогда имеется естественный гомоморфизм "вычисления" или "спаривания" или a:G → G^**, a(g)(y) = y(g) для g из G и y из G^*.

Например, легко проверить, что Z^* ≈ S¹ и S¹^* ≈ Z, Z^*n ≈ Z_n для произвольного n. Более точно утверждение состоит в том, что для групп Z, Z_n, S¹ гомоморфизм a является изоморфизмом.

Цель данной лекции объяснить, что на самом деле для любой локально компактной коммутативной группы G, гомоморфизм a является изоморфизмом. В частности, если H = G^*, то G ≈ H^*. Более того, G дискретна тогда и только тогда, когда G^* – компактна и наоборот.

Это явление и называется двойственностью Понтрягина -- ван Кампена.

Бильярды в замощения

Парис-Ромаскевич Ольга