Аннотации лекций

В условиях спада заболеваемости коронавирусом во многих странах накопленные данные позволяют представить анализ в широком диапазоне значений от начала эпидемии до ее конца. Мы обсудим математические модели динамики численности заболевших, основываясь на так называемых уравнениях логистического типа, которые представляют собой в простейшем случае дифференциальные уравнения первого порядка, изучаемых на младших курсах. Приводятся аналитические решения подобных уравнений. Для оценки коэффициентов данных уравнений использованы данные о заболеваемости коронавирусом с сайта Всемирной организации здравоохранения (выбрано 12 стран). Показаны пути совершенствования математических моделей с помощью методов современной математики, которые разрабатываются в науке (в том числе и в магистратуре ВШЭ).

В первом приближении о кристаллах можно думать как о периодических замощениях плоскости (или пространства) молекулами-полигонами (или молекулами-многогранниками). А можно ли подобрать такие молекулы-полигоны, чтобы ими можно было замостить плоскость без "дыр" и наложения полигонов друг на друга, но так, чтобы это замощение не было периодическим? Оказывается, что это возможно, и примером таких замощений являются мозаики Пенроуза. И более того, существуют такие сплавы (их принято называть квазикристаллами), в которых молекулы действительно располагаются именно таким образом. Физические и химические свойства квазикристаллов хорошо изучены экспериментально. Но попытки увидеть, как эти свойства следуют непосредственно из геометрии квазикристаллов (а для этого надо понять, каковы свойства решений соответствующего уравнения Шредингера) в общем случае пока остаются безуспешными. В некоторых частных случаях, впрочем, ответ получен. А именно, для описания свойств решений уравнения Шредингера надо понять спектральные свойства соответствующего оператора Шредингера, и, скажем, в случае одномерных квазикристаллов его спектр будет фрактальным (канторовым) множеством. Тому, как все эти понятия связаны друг с другом и со многими другими областями математики, и будет посвящен доклад. 

My talk  focused on rhythm-generating neural circuits that can maintain a single oscillatory regime independent of sensory feedback or, depending on the external drive, produce and switch between multiple activity patterns or gaits with distinct phase-lags of the constituent neurons. Of particular interest are the regulation, multi-functionality and interplay between their states, connectivity and the dynamics of individual neurons and synapses in such circuits.

Рассмотрим геометрическую прогрессию: 1+s+s²+... . Её сумма, как все знают, равна 1/(1-s).

А что будет, если в ней случайным образом расставить знаки, для каждого sⁿ подкидывая монетку («орёл» — плюс, решка — «минус»)? Получится случайная величина; но что можно сказать о распределении её значений? 

Если 0 < s < 1/2, то возможные значения этой суммы образуют канторово множество; при s=1/2 получается равномерно распределённая на [-2,2] величина. А что будет происходить при s от 1/2 до 1?

Истории вокруг этого вопроса и будет посвящён мой рассказ (а закончить его я надеюсь результатами из нашей свежей совместной работы с Полиной Вытновой и Марком Полликоттом)

We discuss the behaviour of linear dynamical systems 
    for large times and its relation to eigenvalues and spectral theory. 
    For instance, consider a solution x to the differential equation
    
        x'(t) = Ax(t),
    
    where A is a quadratic matrix --
    then the long time behaviour of x is related
    to the eigenvalues of A.
    After a brief introduction to the topic, we mainly focus on two questions:
    
    (i) What additional information is available if the dynamical system
    is positivity preserving? 
    This is closely related to the famous Perron--Frobenius theorem.
    
    (ii) How do some of the results in finite dimensions generalise
    to infinite-dimensional systems?
    This is, for instance, relevant in the analysis 
    of certain partial differential equations.

Пусть S¹ -- единичная окружность в комплексной плоскости. Тогда относительно умножения комплексных чисел S¹ является коммутативной группой, которая также обозначается как U(1), SO(2) или R/Z.

Пусть также G -- какая-нибудь локально компактная (например, конечная, дискретная или компактная) Хаусдорфова топологическая коммутативная группа. Тогда каждый непрерывный гомоморфизм p:G → S¹ называется характером группы G. Обозначим через G^* множество всех характеров группы G. Из коммутативности группы G легко вытекает, что G^* является группой относительно поточечного сложения характеров, т.е. для любых p,s из G^*  их сумма определяется как (p+s)(g) := p(g) + s(g).

На группе G^*  можно ввести "естественную" топологию, в которой сложение характеров окажется непрерывной операцией. Другими словами G^*  превращается в коммутативную топологическую группу, причем эта группа также локально компактна так же как и G. Поэтому можно рассмотреть группу характеров G^** группы G^* . Тогда имеется естественный гомоморфизм "вычисления" или "спаривания" или a:G → G^**, a(g)(y) = y(g) для g из G и y из G^*.

Например, легко проверить, что Z^* ≈ S¹  и S^1* ≈ Z, Z^*n ≈ Z_n для произвольного n. Более точно утверждение состоит в том, что для групп Z, Z_n, S¹ гомоморфизм a является изоморфизмом.

Цель данной лекции объяснить, что на самом деле для любой локально компактной коммутативной группы G, гомоморфизм a является изоморфизмом. В частности, если H = G^*, то G ≈ H^*. Более того, G дискретна тогда и только тогда, когда G^* – компактна и наоборот.

Это явление и называется двойственностью Понтрягина -- ван Кампена.

Бильярды в замощениях -- новый и интересный раздел математики.  Они моделируют движение света через материалы,  составленные из кусочков с разными показателями преломления.  Оказывается,  что в некоторых случаях эти бильярды рисуют очень красивые картинки на плоскости.

Изучая бильярды в замощениях,  можно коснуться очень разной математики:  динамических систем,  геометрии,  топологии,  комбинаторики,  оригами,  и теории чисел.  Я попробую это показать на примере бильярда в замощении плоскости равными треугольниками.