Аннотации мини-курсов

Аннотация курса:

Геодезические кривые на двумерной поверхности, как известно, являются естественным аналогом прямой линии на плоскости. Поиск двумерных римановых метрик, уравнения геодезических которых интегрируются в квадратурах, является одной из классических задач дифференциальной геометрии. Согласно теореме Арнольда-Лиувилля, для интегрируемости необходимо наличие дополнительного первого интеграла, независимого от интеграла энергии. В типичном случае поиск такого интеграла является сложной задачей ввиду необходимости решать некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящем курсе лекций мы проинтегрируем уравнения геодезических на произвольной поверхности вращения, вложенной в R³, и нарисуем сами геодезические на некоторых поверхностях вращения "от руки". Далее будет рассказано про обобщенный метод годографа, разработанный С.П. Царевым и позволяющий строить точные решения так называемых "полугамильтоновых" систем - специального класса квазилинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Наконец, будут рассмотрены геодезические потоки в ненулевом магнитном поле. Мы обсудим различные вопросы, связанные с интегрируемостью таких потоков на одном, нескольких или сразу на всех уровнях энергии. 

Аннотация курса:

Анализ управляемости объектов, локальной, когда вблизи изучаемой точки фазового пространства есть возможность перевести объект из любого начального состояния в любое другое, оставаясь в пределах заданной окрестности этой точки, или нелокальной, когда такое перевод возможен лишь при значительном удалении от этой точки или интересует переход между двумя далекими состояниями, является одной из основных задач математической теории управления. После положительного ответа на вопрос об управляемости можно ставить задачу об оптимальном переходе из одного состояния в другое (по выбранному критерию качества управления).

Миникурс будет посвящен теории управляемости гладких систем с управлением на замкнутых двумерных поверхностях, например, на сфере, торе или кренделе. Оказывается, что как и в классической теории гладких векторных полей на таких поверхностях, начатой в классической работе А.А.Андронова и Л.С.Понтрягина 1937 года, управляемость таких систем оказалось структурно устойчивой. Основные элементы этой теории и будут изложены в миникурсе.

Аннотация курса: 

Рассмотрим векторное поле на двумерной плоскости. Векторное поле можно понимать как отображение, которое каждой точке плоскости сопоставляет некоторый вектор. Например, каждой молекуле текущей воды мы можем сопоставить вектор скорости этой молекулы. Оказывается, что поля бывают структурно устойчивыми (поведение траектории каждой молекулы при возмущении меняется не существенно) и структуно неустойчивыми (траектории меняются кардинально). Второй случай и представля интерес для теории бифуркации.

Аннотация курса: 

Все непонятные или просто новые для студентов термины будут объяснены. При этом лектор не будет стрмиться к полной математической строгости – это потребовало бы много предварительных знаний, выходящих за рамки университетской программы, но объяснит все нужные математические понятия  неформально и на картинках. 

Затем будует рассказано о возникающих задачах, как решённых, так и не решённых. В результате  вы соприкаснётесь с передним краем науки в области топологии и теории динамических систем и даже сможете подумать о том, как подойти к их решению.
 

Аннотация курса:

Неравенства Морса связывают число критических точек определенного индекса функции Морса на гладком компактном многообразии с размерностями групп когомологий данного многообразия. В 1982 году Виттен предложил оригинальный аналитический метод для доказательства неравенств Морса. Этот метод оказался чрезвычайно плодотворным и нашел множество приложений в дифференциальной геометрии и топологии. Цель данного курса состоит в том, чтобы ознакомить слушателя с неравенствами Морса и основными идеями доказательства Виттена.

Аннотация курса: 

Миникурс "О парадоксах и патологических примерах в курсе математического анализа" посвящен обсуждению необычных и порой противоречивых идей из теории множеств и функций. Основная цель курса — повысить математическую культуру слушателей через решение интересных и глубоких задач. Мы планируем уделить внимание построению ярких примеров, которые выходят за рамки базового курса математического анализа:

• Множество Кантора,

• "чертова лестница",

• Кривая Пеано-Гильберта.

Помимо прочего, постараемся разобрать такие примеры, как:

• "кладбище" и "ковер" Серпинского,

• Канторову гребенку,

• строго монотонную функцию с нулевой производной,

• примеры Вейерштрасса и Ван-дер-Вардена,

• фрактальное построение функции, которая всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема, и др.

Курс ориентирован на студентов 1-4 курсов.

Аннотация курса:

В сложных моделях, когда невозможно найти решение с помощью прямого интегрирования, уместно применять специальные методы исследования. Это относится в частности к дифференциальным уравнениям с запаздыванием. Один из подходов заключается в поиске решения в определенной форме. Например, для симметричных систем это могут быть дискретные бегущие волны или режимы кластерной синхронизации. Другой метод заключается в переходе к предельному объекту. В некоторых случаях возможно определить содержательное предельное уравнение при стремлении большого параметра к бесконечности, в частности если нелинейность имеет сигмовидную форму. Иногда это удается сделать после подходящей замены неизвестной функции. При этом доказываются результаты об асимптотической близости решений исходных и предельных уравнений.

Аннотация курса: 

Будет рассказано о решении задачи Хасслера Уитни о движении без падений плоского математического маятника на горизонтально движущейся платформе. Сама задача была поставлена в 1941 году, но строго решена в полной мере относительно недавно. Доказательство опирается на несложные, но весьма полезные топологические соображения. Будет рассказано о применении этих идей в теории управления, а также для поиска периодических решений в задачах механики. Если останется время, то мы обсудим некоторые динамические эффекты, возникающие при движении маятника Капицы-Уитни (перевернутый маятник на вертикально вибрирующем основании в поле горизонтальной силы, зависящей от времени) и топологические идеи в методе усреднения Н.Н. Боголюбова.

Аннотация курса:

Казалось бы, ну что может быть сложного и интересного в одномерной динамической системе? Теория функций одной переменной известна уже пару сотен лет (а то и больше!), наверняка одномерная динамика так же хорошо изучена. Удивительным образом, оказывается, что это не так: даже такой простой вопрос как отображения окружности содержит внутри себя совершенно нетривиальные конструкции и результаты. Более того, некоторые вопросы не решены до сих пор.

На лекциях будет дано введение в теорию диффеоморфизмов окружности, начиная с самых базовых понятий. Мы разберем понятие числа вращения, теорему Данжуа, пример Данжуа и ряд связанных с ними вопросов. 

Аннотация курса: 

Мини-курс посвящен введению в теорию канонического оператора Маслова, который позволяет строить асимптотики решения широкого класса дифференциальных и псевдодифференциальных задач. Конструкция канонического оператора является обобщением метода ВКБ и опирается на геометрический объект в фазовом пространстве – лагранжево многообразие. В отличие от метода ВКБ этот подход позволяет получать глобальные асимптотики при наличии фокальных точек, т.е. является более универсальным. Первая лекция будет посвящена методу ВКБ и его связи с системой Гамильтона. На второй лекции введем понятие лагранжева многообразия и обсудим его свойства. На третьей лекции будет определен канонический оператор Маслова и приведены примеры построения асимптотики этим методом.