Аннотации мини-курсов

В рамках школы-конференции участники смогут прослушать мини-курсы от приглашенных математических специалистов. Каждый мини-курс состоит из двух или трех лекций по данной тематике. С аннотациями проводимых курсов можно ознакомиться ниже.

Аннотация курса:

Меандр – это пара незамкнутых простых гладких кривых на диске в общем положении (с концами на границе диска). На первый взгляд объект выглядит очень простым, но задача подсчёта числа неэквивалентных меандров, поставленная более 40 лет назад, до сих пор далека от решения! При этом меандры появляются в различных областях математики (например, в топологии трёхмерных многообразий, в алгебраической геометрии, в математической физике). В рамках миникурса мы обсудим некоторые из этих связей, а также недавние продвижения в задаче подсчета меандров. 

Аннотация курса:

Мы обсудим некоторые вариационные подходы к изучению задач на собственные значения оператора Лапласа. Отправной точкой послужит полная вариационная характеризация линейного спектра через минимаксный принцип Куранта-Фишера. Далее мы рассмотрим принцип Люстерника-Шнирельмана как основной инструмент для построения спектра нелинейных задач, на примере описания критических уровней энергии Дирихле на L^q-сфере. Будет показано, что эта теория согласована с принципом Куранта-Фишера в линейном случае q=2, однако в нелинейном случае она приводит к неожиданным результатам. В частности, мы постараемся рассмотреть ситуацию, в которой принцип Люстерника-Шнирельмана не определяет полный спектр задачи.

Аннотация курса:

Курс посвящен достаточно простой тематике, которая, однако, часто не освящается в стандартной университетской программе -- равносоставленности множеств на плоскости и в пространстве. Два множества точек A и B метрического пространства называются равносоставленными, если их можно разбить на конечное число непересекающихся подмножеств A1, …, An и B1, …, Bn так, что Ai  переводится в Bi изометрией пространства. Будут разобраны общие свойства этого отношения эквивалентности и доказана теорема-«парадокс» Банаха-Тарского о том, что в трехмерном евклидовом пространстве любые два ограниченных множества с непустой внутренностью равносоставлены.

Аннотация курса:

В миникурсе из трёх лекций будет рассказано о новых методах из арсенала современного функционального анализа. С их помощью можно выражать решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами через эти коэффициенты. Ситуация полностью аналогична тому, как решения квадратных алгебраических уравнений выражаются через его коэффициенты. Решение дифференциального уравнения представляется в виде предела функций, каждая из которых дана явно и явным образом содержит переменные коэффициенты уравнения. Предлагаемая техника применима к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к параболическим и эллиптическим дифференциальным уравнениям с частными производными, с ПЕРЕМЕННЫМИ коэффициентами - произвольными функциями, играющими роль параметров, через которые выражается решение. Звучит как фантастика, но читайте дальше, приходите на курс, и вы увидите, что всё это взаправду.

Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, если А - квадратная числовая матрица, то решение задачи Коши U'(t)=AU(t), U(0)=b представимо в виде U(t)=exp(tA)b, где экспонента от матрицы задаётся стандартным степенным рядом для экспоненты. Оказывается, те же самые формулы справедливы и в случае, когда А - неограниченный линейный оператор в банаховом пространстве. Причём, если оно реализовано как пространство функций, и А — это действующий на эти функции дифференциальный оператор, то обыкновенное дифференциальное уравнение U'(t)=AU(t), U(0)=b в банаховом пространстве можно трактовать как дифференциальное уравнение с частными производными относительно функции u, принимающей числовые значения и задаваемой равенством u(t,x)=U(t)(x)=(exp(tA)b)(x). Например, если А - это оператор вычисления второй производной, (Af)(x)=f''(x), то U'(t)=AU(t), U(0)=b это уравнение теплопроводности u_t(t,x)=u_{xx}, u(0,x)=b(x).

Параметризованное неотрицательным числом t семейство операторов exp(tA) называется С_0-полугруппой с инфинитезимальным генератором А. Пример выше показывает, что в нахождении полугруппы теплопроводности нет никакого труда, поскольку решения уравнения теплопроводности известны из курса уравнений с частными производными. Но ситуация становится сложнее, когда А - дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Причём ряд использовать для нахождения экспоненты уже нельзя, так как это был бы ряд по степеням неограниченного оператора, и не стоит ожидать сходимости по норме в пространстве операторов. Однако, если научиться всё-таки находить exp(tA) для (Af)(x)=p(x)f''(x)+q(x)f'(x)+r(x)f(x), то можно будет выразить через функции p,q,r,b решение задачи Коши u_t(t,x)=a(x)u_{xx}+ b(x)u_x+c(x)u, u(0,x)=b(x). Более того, через функции a,b,c,g можно будет выразить решение обыкновенного дифференциального уравнения p(x)f''(x)+q(x)f'(x)+r(x)f(x)=g(x).

На курсе будет рассказано, как находить exp(tA) приближённо в виде предела основанных на теореме Чернова операторов, будут даны явные формулы и показано, как можно получать аналогичные формулы самостоятельно. Более того, будут даны формулировка и схема доказательства теоремы о скорости сходимости получаемых аппроксимаций. Эти результаты были опубликованы в журналах совсем недавно - в январе и декабре 2025 года. Приходите и приглашайте друзей, учеников, коллег!

Аннотация курса:

Курс знакомит с классическими методами асимптотического анализа интегралов, зависящих от большого параметра. Эти методы составляют основу современной математической физики, позволяя находить поведение сложных систем в предельных режимах, когда точное вычисление функции невозможно или нецелесообразно.
В рамках первой лекции будет обсуждаться метод Лапласа, предназначенный для оценки интегралов от вещественных экспонент. Метод основан на том, что при росте параметра основной вклад в значение интеграла вносит сколь угодно малая окрестность точки максимума показателя экспоненты. Разбирается вывод формулы Лапласа и её применение к специальным функциям.

Во второй лекции рассматривается метод стационарной фазы, который применяется к быстроосциллирующим интегралам. Основное внимание уделяется анализу точек, в которых фаза функции перестает меняться, и обоснованию того, почему именно окрестности этих точек определяют итоговое значение интеграла в волновых процессах.
Третья лекция посвящена методу перевала – обобщению методов Лапласа и стационарной фазы на случай интегралов в комплексной плоскости. Метод основан на деформации контура интегрирования таким образом, чтобы он проходил через седловую точку функции по линии наибыстрейшего спуска. Этот метод является важным инструментом асимптотического анализа функций, заданных интегральными представлениями. 

Аннотация курса:

Полностью положительной матрицей называется матрица, все миноры (всех размеров, и не только центральные, в частности, все элементы) которой положительны. Условие полной положительности обобщает условие положительной определенности квадратичной формы. Оно впервые возникло еще в конце 19-го века при описании устойчивых колебательных систем, однако оказалось в центре современной области кластерных алгебр и многообразий, дискретных интегрируемых систем и многих других. Я расскажу о происхождении данной области, об основных свойствах полностью положительных матриц,  о связи с комбинаторными задачами про пути на графах. Мы также затронем тему кластерных многообразий, разберем один из центральных примеров таковых - многообразие Грассмана.

Аннотация курса:

Хорошо известно, что любое компактное трехмерное многообразие разбивается на (идеальные) тетраэдры. Минимально возможное число тетраэдров в разбиении называется сложностью многообразия. Сложность - интересный инвариант многообразия. Точные значения сложности известны для табулированных многообразий (их конечное число) и для нескольких бесконечных серий многообразий. Цель курса - получить представление об основных достижениях в данной области топологии.