Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 2 year, 1-3 module

Instructor

Chebochko, Natalya

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина является продолжением курса алгебры на 1 курсе бакалавриата. Дисциплина направлена на освоение таких понятий и утверждений линейной алгебры как теория операторов, билинейных и квадратичных форм, теория евклидовых и унитарных пространств и линейных отображений в них, теория тензоров, теория алгебраических структур.

Цель освоения дисциплины

Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
Освоение фундаментальных понятий и результатов линейной алгебры.
Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
Формирование умений и навыков в решении задач линейной алгебры.
Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.
Знакомство с основными вычислительными алгоритмами линейной алгебры
Освоение теории алгебраических структур

Планируемые результаты обучения

Знать определения и основные факты теории тензоров
Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
Знать определения и утверждения теории векторных пространств
Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
Знать определения и утверждения теории линейных отображений
Знать определения и утверждения теории матриц
Знать определения и утверждения теории многочленов
Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
Уметь вычислять определители.
Уметь доказывать основные факты теории тензоров
Уметь доказывать результаты из теории матриц
Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
Уметь доказывать результаты теории многочленов
Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами
Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Содержание учебной дисциплины

Поле комплексных чисел.
Линейные операторы
Делимость в кольце целых чисел.
Билинейные и квадратичные формы.
Кольцо многочленов.
Евклидово (унитарное) пространство.
Алгебра матриц.
Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
Теория определителей.
Тензоры.
Метод последовательного исключения неизвестных.
Группы.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Действие группы на множестве.
Векторные пространства.
р-группы, разрешимые и простые группы.
Линейные отображения.
Задание группы образующими и соотношениями.
Конечные абелевы группы.
Общие определения теории колец. Делители нуля. Целостные
Идеалы и гомоморфизмы колец.

Элементы контроля

контрольная работа
коллоквиум
Итоговый устный вопрос
Опрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса) на платформе Zoom. К опросу необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время опроса студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в опросе. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Контрольная работа
коллоквиум
Задание на коллоквиуме содержит 1 теоретический вопрос и 1 задачу
Итоговый устный опрос
Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

2020/2021 учебный год 2 модуль
0.15 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * контрольная работа
2020/2021 учебный год 4 модуль
0.15 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * контрольная работа
2021/2022 учебный год 1 модуль
0.3 * Контрольная работа + 0.7 * Итоговый устный опрос
2021/2022 учебный год 3 модуль
0.1 * Контрольная работа + 0.2 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Авторы

Чебочко Наталья Георгиевна

Bachelor’s Programme 'Pure and Applied Mathematics'

Algebra

Instructor

Программа дисциплины