Алгебра

2021/2022

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Кто читает:

Кафедра фундаментальной математики (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-3 модуль

Преподаватель

Чебочко Наталья Георгиевна

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина является продолжением курса алгебры на 1 курсе бакалавриата. Дисциплина направлена на освоение таких понятий и утверждений линейной алгебры как теория операторов, билинейных и квадратичных форм, теория евклидовых и унитарных пространств и линейных отображений в них, теория тензоров, теория алгебраических структур.

Цель освоения дисциплины

• Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
• Освоение фундаментальных понятий и результатов линейной алгебры.
• Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
• Формирование умений и навыков в решении задач линейной алгебры.
• Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.
• Знакомство с основными вычислительными алгоритмами линейной алгебры
• Освоение теории алгебраических структур

Планируемые результаты обучения

• Знать определения и основные факты теории тензоров
• Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
• Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
• Знать определения и утверждения теории векторных пространств
• Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
• Знать определения и утверждения теории линейных отображений
• Знать определения и утверждения теории матриц
• Знать определения и утверждения теории многочленов
• Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
• Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
• Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
• Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
• Уметь вычислять определители.
• Уметь доказывать основные факты теории тензоров
• Уметь доказывать результаты из теории матриц
• Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
• Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
• Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
• Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
• Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
• Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
• Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
• Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
• Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
• Уметь доказывать результаты теории многочленов
• Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
• Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами
• Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
• Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
• Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
• Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
• Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
• уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
• Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
• Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
• Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
• Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Содержание учебной дисциплины

• Поле комплексных чисел.
• Линейные операторы
• Делимость в кольце целых чисел.
• Билинейные и квадратичные формы.
• Кольцо многочленов.
• Евклидово (унитарное) пространство.
• Алгебра матриц.
• Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
• Теория определителей.
• Тензоры.
• Метод последовательного исключения неизвестных.
• Группы.
• Системы линейных алгебраических уравнений.
• Действие группы на множестве.
• Векторные пространства.
• р-группы, разрешимые и простые группы.
• Линейные отображения.
• Задание группы образующими и соотношениями.
• Конечные абелевы группы.
• Общие определения теории колец. Делители нуля. Целостные
• Идеалы и гомоморфизмы колец.

Элементы контроля

• контрольная работа
• коллоквиум
• Итоговый устный вопрос
  Опрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса) на платформе Zoom. К опросу необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время опроса студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в опросе. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• Экзамен
  Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• Контрольная работа
• коллоквиум
  Задание на коллоквиуме содержит 1 теоретический вопрос и 1 задачу
• Итоговый устный опрос
  Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• 2020/2021 учебный год 2 модуль
  0.15 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * контрольная работа
• 2020/2021 учебный год 4 модуль
  0.15 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный вопрос + 0.15 * контрольная работа
• 2021/2022 учебный год 1 модуль
  0.3 * Контрольная работа + 0.7 * Итоговый устный опрос
• 2021/2022 учебный год 3 модуль
  0.1 * Контрольная работа + 0.2 * коллоквиум + 0.7 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
• Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
• Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
• Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
• Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Задачи и теоремы линейной алгебры, [перераб. и расш.], 575 с., Прасолов, В. В., 2015
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016