Delivered at:: Department of Fundamental Mathematics (Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod))

Course type:: Compulsory course

When:: 4 year, 1, 2 module

Instructor

Yakovlev, Evgeniy

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Термином «компьютерная топология» в принципе можно обозначать два разных научных направления. Одно из них имеет своей целью использование компьютеров при решении проблем топологии, например, классификации компактных трехмерных многообразий. Другое посвящено применению топологии в прикладных задачах, связанных с компьютерным моделированием. Данная программа представляет собой введение во второе из указанных научных направлений. Ее ядро составляют эффективные алгоритмы вычисления топологических характеристик триангулированных полиэдров, разработанные автором программы и его учениками.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Компьютерная топология» являются знакомство с базовыми понятиями и конструкциями комбинаторной топологии; изучение методов и алгоритмов вычисления топологических характеристик и элементов полиэдров, используемых на практике в качестве компьютерных моделей реальных объектов.
Целями освоения дисциплины «Практикум по компьютерной топологии» являются знакомство с базовыми понятиями и конструкциями комбинаторной топологии; изучение методов и алгоритмов вычисления топологических характеристик и элементов полиэдров, используемых на практике в качестве компьютерных моделей реальных объектов.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с применениями топологии в компьютерном моделировании и механике сплошной среды
Знание алгоритмов условной минимизации путей и циклов. Умение строить симплициальную схему накрывающего полиэдра по заданной индексной вектор-функции.
Знание алгоритмов эффективного вычисления групп гомологий, умение применять их на моделях с небольшим числом симплексов
Знание критериев многообразий и псевдомногообразий, критериев ориентируемости многообразий. Умение находить особенности полиэдров размерностей 2 и 3, применять алгоритм построения ориентации 2-многообразия
Знание основных понятий комбинаторной топологии, умение выполнять симплициальное и клеточное разбиение стандартных полиэдров
Знание основных понятий теории гомологий. Умение вычислять группы гомологий двумерных и трехмерных полиэдров с помощью клеточных разбиений, а также с помощью точных гомологических последовательностей.
Знание теории индексов пересечения и методов их вычисления. Умение вычислять индексы пересечения циклов на многообразиях размерностей 2 и 3

Содержание учебной дисциплины

Базовые конструкции комбинаторной топологии
Группы симплициальных и клеточных гомологий по модулю 2
Триангулированные многообразия
Вычисление базисов групп гомологий
Индексы пересечения
Минимальные пути и циклы
Применения топологических алгоритмов

Элементы контроля

Контрольная работа на вычисление групп гомологий
Задание содержит 2 задачи
Экзамен
Опрос производится в устной форме. Задание содержит 1 задачу и 1 теоретический вопрос. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.5 * Контрольная работа на вычисление групп гомологий + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Яковлев Евгений Иванович

Bachelor’s Programme 'Mathematics'

Computer Topology

Instructor

Программа дисциплины