Компьютерная топология

2024/2025

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Кто читает:

Кафедра фундаментальной математики (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

4-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Яковлев Евгений Иванович

Программа дисциплины

Аннотация

Термином «компьютерная топология» в принципе можно обозначать два разных научных направления. Одно из них имеет своей целью использование компьютеров при решении проблем топологии, например, классификации компактных трехмерных многообразий. Другое посвящено применению топологии в прикладных задачах, связанных с компьютерным моделированием. Данная программа представляет собой введение во второе из указанных научных направлений. Ее ядро составляют эффективные алгоритмы вычисления топологических характеристик триангулированных полиэдров, разработанные автором программы и его учениками.

Цель освоения дисциплины

• Целями освоения дисциплины «Компьютерная топология» являются знакомство с базовыми понятиями и конструкциями комбинаторной топологии; изучение методов и алгоритмов вычисления топологических характеристик и элементов полиэдров, используемых на практике в качестве компьютерных моделей реальных объектов.
• Целями освоения дисциплины «Практикум по компьютерной топологии» являются знакомство с базовыми понятиями и конструкциями комбинаторной топологии; изучение методов и алгоритмов вычисления топологических характеристик и элементов полиэдров, используемых на практике в качестве компьютерных моделей реальных объектов.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с применениями топологии в компьютерном моделировании и механике сплошной среды
• Знание алгоритмов условной минимизации путей и циклов. Умение строить симплициальную схему накрывающего полиэдра по заданной индексной вектор-функции.
• Знание алгоритмов эффективного вычисления групп гомологий, умение применять их на моделях с небольшим числом симплексов
• Знание критериев многообразий и псевдомногообразий, критериев ориентируемости многообразий. Умение находить особенности полиэдров размерностей 2 и 3, применять алгоритм построения ориентации 2-многообразия
• Знание основных понятий комбинаторной топологии, умение выполнять симплициальное и клеточное разбиение стандартных полиэдров
• Знание основных понятий теории гомологий. Умение вычислять группы гомологий двумерных и трехмерных полиэдров с помощью клеточных разбиений, а также с помощью точных гомологических последовательностей.
• Знание теории индексов пересечения и методов их вычисления. Умение вычислять индексы пересечения циклов на многообразиях размерностей 2 и 3

Содержание учебной дисциплины

• Базовые конструкции комбинаторной топологии
• Группы симплициальных и клеточных гомологий по модулю 2
• Триангулированные многообразия
• Вычисление базисов групп гомологий
• Индексы пересечения
• Минимальные пути и циклы
• Применения топологических алгоритмов

Элементы контроля

• Контрольная работа на вычисление групп гомологий
  Задание содержит 2 задачи
• Экзамен
  Опрос производится в устной форме. Задание содержит 1 задачу и 1 теоретический вопрос. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.5 * Контрольная работа на вычисление групп гомологий + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Вычислительная топология, учебник, 213 с., Яковлев, Е. И., 2005
• Задачи по топологии, Независимый Московский ун-т, 38 с., Прасолов, В. В., 2008
• Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, 2-е изд., испр. и доп., 358 с., Прасолов, В. В., 2014

Рекомендуемая дополнительная литература

• Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий / С. В. Матвеев. — Москва : МЦНМО, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-94057-209-1. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9370 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Скопенков, А. Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения / А. Б. Скопенков. — Москва : МЦНМО, 2016. — 270 с. — ISBN 978-5-4439-2477-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71854 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Элементарная топология : учебное пособие / О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. — Москва : МЦНМО, 2010. — 352 с. — ISBN 978-5-94057-587-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9313 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Яковлев Евгений Иванович