Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта НИУ ВШЭ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь, наши правила обработки персональных данных – здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом НИУ ВШЭ и согласны с нашими правилами обработки персональных данных. Вы можете отключить файлы cookies в настройках Вашего браузера.

  • A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Описание научного проекта

Проект 25-00-014 «Новый численно-аналитический метод решения задач Коши для эволюционных уравнений и систем эволюционных уравнений с квадратичной нелинейностью».

 

В проекте рассматривается широкий набор эволюционных уравнений и систем эволюционных уравнений с квадратичной нелинейностью, заданных на действительной прямой. В этот набор входят как феноменологические, так и фундаментальные модели, а также модели, полученные упрощением фундаментальных моделей и введением в них феноменологических членов. К фундаментальным моделям этого набора можно отнести уравнение Ландау-Лифшица, описывающее ферромагнетик Гейзенберга, а также системы уравнений Карлемана и Годунова Султангазина, применяемые для обоснования статистической механики. Рассматриваемые нами феноменологические модели --- это уравнения Кардара-Паризи-Жанга и Бредли-Харпера, описывающие рост поверхности кристалла, подвергающегося воздействию различных технологий микроэлектроники, модели популяционной динамики, к которым относятся уравнение Колмогорова Петровского-Пискунова и система Лотки-Вольтерра с диффузией, а также SIS- и SIR-модели, относящиеся к математической эпидемиологии. Промежуточное положение между фундаментальными и феноменологическими моделями занимают уравнения Бюргерса, Кортевега де-Вриза, Кортевега-де-Вриза-Бюргерса и Кавахары. В данной работе для решения задач Коши на вещественной прямой для всего этого спектра уравнений и систем предложен единообразный подход, названный нами методом обрыва степенного ряда.

Суть этого метода состоит в следующем: решение эволюционного уравнения или системы из нашего набора ищется в классе вещественноаналитических функций, то есть в виде степенных рядов по пространственной переменной с коэффициентами, зависящими от времени. В результате подстановки таких рядов в исходное уравнение или систему для этих коэффициентов получается нелинейная счётномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальные условия к этой счётномерной системе берутся из разложения в ряд Тейлора начальных условий к исходному уравнению или системе, при этом эти начальные условия также должны быть вещественноаналитическими. Потом проводится процедура укорочения счётномерной системы до конечномерной, которая затем решается численно. Процедуре укорочения соответствует обрыв степенного ряда. Такое укорочение и последующий расчёт производятся при последовательном повышении размерности укороченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений до тех пор, пока зависящие от времени коэффициенты при первых членах степенного ряда в некоторой норме перестанут заметно отличаться друг от друга. Если у рассматриваемого уравнения и системы имеется точное решение, то результаты численных расчётов целесообразно сравнить с коэффициентами разложения этого точного решения в степенной ряд.

Вышеописанная схема допускает обобщения на более сложные случаи, а именно, на наличие переменных коэффициентов при линейных по искомой функции членах, а также на случай введения дилатации по пространственной переменной, то есть метод обрыва степенного ряда работает и тогда, когда перестают работать такие методы получения точных решений эволюционных уравнений и систем, как метод обратной задачи рассеяния и метод теста Пенлеве.

 

 

Цель, задачи и актуальность исследования

Эволюционные уравнения и системы эволюционных уравнений служат математической основой описания широкого круга процессов в природе, обществе и технике. Так, уравнение Колмогорова Петровского-Пискунова, системы уравнений Лотки-Вольтерра с диффузией и с акустическим ветром представляют собой модели популяционной динамики. Уравнение Кардара-Паризи-Жанга применяется при описании роста поверхности твёрдого тела в процессе молекулярной эпитаксии, а уравнение Бредли-Харпера --- это модель ионной имплантации на поверхность кристалла с цилиндрической образующей. Уравнение Бюргерса  используется в нелинейной акустике. Уравнение Кортевега-де-Вриза описывает распространение волн на поверхности воды, а уравнение Кортевега-де-Вриза-Бюргерса уточняет это описание на случай учёта диссипации энергии. Уравнение Кавахары описывает распространение волн под ледяным покровом. Уравнение Курамото-Сивашинского  встречается при описании волновых процессов, возникающих при стекании тонкого слоя жидкости по наклонной плоскости, процессов турбулентности, волн дрейфа в плазме, фронта пламени. Уравнение Олвера  более точно описывает распространение волн на поверхности воды по сравнению с уравнением Кортевега-де Вриза. Система SIS-модели и SIR-модели относятся к математической эпидемиологии. Система уравнений Карлемана и система уравнений Годунова — Султангазина являются модельными системами кинетической теории газов. Система уравнений Ландау-Лифшица описывает ферромагнетик Гейзенберга. Система уравнений орегонатора применяется в химической кинетике. Все эти уравнения и системы редко решаются точно для произвольного начального условия --- хотя среди этого списка такие примеры есть, а именно, задача Коши для уравнения Кортевега-де-Вриза  и уравнения Ландау-Лифшица решаются точно методом обратной задачи рассеяния. Метод обрыва степенного ряда даёт возможность строить асимптотические решения таких систем уравнений для весьма широкого класса начальных условий --- вещественно аналитических функций на прямой, сводя эти распределённые системы к счётномерным системам обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим их укорочением.

Такая широта охвата задач из различных предметных областей при наличии у НУГ эффективного инструмента для их решения в виде метода обрыва степенного ряда является предпосылкой для создания на базе Нижегородского кампуса ВШЭ нового центра международного уровня по математическому моделированию, теоретической и математической физике для исследователей и студентов/аспирантов/докторантов из стран-участниц БРИКС, центром кристаллизации для которого на начальном этапе может стать научный семинар НУГ.


 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.