Научный семинар

Видеозаписи семинаров: https://disk.yandex.ru/d/jSGOt5xfmlXAkQ

Семинар 1

Тема доклада: «Основы решения эволюционных уравнений и систем эволюционных уравнений методом обрыва степенного ряда»
Дата семинара: 21.01.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076
Докладчик: Рассадин Александр Эдуардович (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В докладе описан численно-аналитический метод решения эволюционных уравнений и систем с квадратичной нелинейностью. В качестве примеров таких уравнений в докладе приводятся уравнение Кортевега-де-Вриза, уравнение Бюргерса и уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, а примерами таких систем являются система Карлемана и SIS-модель с различными скоростями миграции здоровых и больных особей. В докладе показана роль известных точных решений этих уравнений и систем для верификации метода. В качестве применения метода для пространственно-неоднородной системы построено приближённое решение уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка для сегнетоэлектрического конденсатора с отрицательной дифференциальной ёмкостью, находящегося под воздействием гауссовского дельта-коррелированного напряжения.

Презентация_1 (PDF, 711 Кб)

Семинар 2

Дата семинара: 28.01.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада  1: «Новый численно-аналитический метод решения уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова»
Докладчик 1: М.И. Рубцов (студент 3-го курса бакалавриата кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В докладе описано решение уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова методом обрыва степенного ряда. Верификация этого численно-аналитического метода произведена на точном решении Фишера этого уравнения.

Презентация_2.1 (PDF, 1,30 Мб)

Тема доклада 2: «SIS-модель с разными скоростями миграции больных и здоровых особей»
Докладчик 2: Д.А. Подолин (студент 3-го курса бакалавриата кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В докладе рассмотрено общее решение SIS-модели с разными скоростями миграции больных и здоровых особей популяции. Целью этих рассмотрений является подбор точных решений этой модели для верификации метода обрыва степенного ряда.

Презентация_2.2 (PDF, 535 Кб)

Семинар 3

Тема доклада: «SIS-модель с учётом миграции и диффузии: асимптотическое решение»
Дата семинара: 04.02.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076
Докладчик: Рассадин Александр Эдуардович (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:

В докладе предложена и исследована простая и эффективная модель эпидемии в популяции животных, учитывающую миграцию по плоскости как заболевших, так и оставшихся здоровыми особей. В рамках данной модели пространственная миграция популяции описывается введением в её уравнения и диффузионных, и адвективных членов. Для нахождения асимптотического решения системы уравнений эпидемии применялся метод многих масштабов. Решения вспомогательных линейных уравнений параболического типа, возникающих при проведении этой процедуры, находились с помощью интеграла Пуассона. Упрощение исходной системы уравнений модели производится на основе предположения о постоянстве в начальный момент времени суммы плотностей здоровых и больных особей на односвязной области большого диаметра на плоскости. Показано, что в этом случае сконструированное для медленно меняющейся начальной плотности больных особей, сосредоточенной внутри этой области на значительном удалении от её границ, асимптотическое решение модели описывает эффект слияния нескольких пространственно-разнесённых небольших вспышек заболевания в одну большую вспышку при миграции всей популяции как целого. В частности, для такой начальной плотности, получающейся функциональным преобразованием гауссоиды, на больших временах формируется круговое «плато» с линейно растущим со временем эффективным радиусом. Построенное асимптотическое решение предложенной в данной работе модели эпидемии несложно по форме и описывает перенос заболевания на локально плоском участке земной поверхности без применения численных методов. Такое решение удобно при описании миграции больной популяции под воздействием наводнения, лесного пожара, техногенной катастрофы с заражением местности и т.д.
 

Семинар 4

Дата семинара: 11.02.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада  1: «Как одно смешанное функционально-дифференциальное уравнение помогает установить новые тождества для функций Бесселя»
Приглашенный докладчик 1: Э.Б. Велилаев (студент 3-го курса бакалавриата кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В докладе рассматривается простейшее смешанное функционально-дифференциальное уравнение (СФДУ), правая часть которого строится с помощью операторов сдвига по пространственной координате. Задача Коши на прямой для этого СФДУ имеет точное решение, выражающееся через функции Бесселя первого рода. Подстановка этого решения при заданном начальном условии на прямой в интеграл движения этого СФДУ приводит к новому тождеству для функций Бесселя.

Презентация_4.1 (PDF, 188 Кб)

Тема доклада 2: «Смешанные функционально-дифференциальные уравнения как эволюционные уравнения»
Докладчик 2: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:В 1996 г. в докладе [1] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) А.Д. Мышкисом и Г.А. Каменским было предложено следующее определение смешанного функционально-дифференциального уравнения: «Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов». Таким образом, «смешанность» уравнения состоит в противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, — ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями математической физики.
В данном докладе представлены два примера точных решений линейных СДУ, в одном из которых оператор правой части ― разностный, а в другом ― интегральный.

Презентация_4.2 (PDF, 277 Кб)

[1] Kamenskii G. A., Myshkis A. D. On the mixed type functional differential equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl..—1997.— Vol 30, N 5.—P.2577–2584.

Семинар 5

Дата семинара: 18.02.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Полезно использовать компактные схемы для аппроксимации дифференциальных соотношений»
Приглашенный докладчик: В.А. Гордин (д.ф.-м.н., профессор-исследователь департамента математики факультета экономических наук НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Аннотация (PDF, 138 Кб)

Презентация доклада (PDF, 781 Кб)

Семинар 6

Дата семинара: 25.02.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Счётномерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений: примеры точных решений»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В методе обрыва степенного ряда решение эволюционного уравнения с квадратичной нелинейностью ищется в классе вещественноаналитических функций по пространственной координате. Подстановка этого ряда в эволюционное уравнение даёт счётномерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Однако возможен и обратный подход: по заданной счётномерной системе ОДУ строится степенной ряд по пространственной координате с коэффициентами, являющимися решениями этой системы. Этот ряд является производящей функцией такой системы и удовлетворяет некоторому эволюционному уравнению. В докладе даны примеры задач Коши для таких счётномерных систем ОДУ, для которых эволюционное уравнение для их производящей функции решается точно, соответственно, по его решению можно построить и точное решение исходной счётномерной системы ОДУ. Эти примеры полезны как для исследования границ применимости метода обрыва степенного ряда, так и для иллюстрации теорем существования и единственности для решений счётномерных систем ОДУ, полученных в работах А.Н. Тихонова и К.П. Персидского.

Презентация_6 (PDF, 986 Кб)

Семинар 7

Дата семинара: 04.03.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Газовая динамика и эволюционные уравнения»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада:
В данном обзорном докладе рассмотрены две классических задачи газовой динамики [1]: задача о распространении сферической ударной волны большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва, т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме большого количества энергии, и задача о сходящейся к центру ударной волне большой интенсивности. Показано, что существенно продвинуться в решении этих задач оказалось возможным благодаря использованию автомодельных подстановок степенного вида. Также в докладе, следуя работе [2], описана схема построения теории возмущений для уравнений газовой динамики на фоне точного решения для сходящейся сферической ударной волны. Актуальность представленной в докладе тематики на современном этапе обоснована в монографии [3].

[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. – 736 с.: ил. — (Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. VI).
[2] Брушлинский К.В. Неустойчивость сходящейся сферической ударной волны // Журнал вычислительной математики и математической физики, 22:6 (1982), с. 1468–1479.
[3] Тренин Д.В., Авакянц С.И., Караганов С. А. От сдерживания к устрашению. Ядерное оружие, геополитика, коалиционная стратегия / Рук.: С.А. Караганов. Отв. ред.: П.Ю. Тебин, С. А. Караганов. М.: Молодая гвардия, 2024.

Презентация_7 (PDF, 930 Кб)

Семинар 8

Дата семинара: 11.03.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Введение в квантовый хаос. Часть 1»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В данном обзорном докладе сначала рассматривается система, демонстрирующая классический гамильтонов хаос: гамильтонова система с ударами. Следуя монографии [1], показано сведение описания динамики этой системы к изучению поведения точечного отображения на полуцилиндре. Приведён пример динамики такого отображения. Затем для квантовомеханического аналога этой системы выводится квантовое отображение волновых функций. Дано подробное описание когерентных состояний квантовомеханического гармонического осциллятора, использованных для анализа квантовомеханических средних. Мотивировкой данного доклада является возможность численно-аналитического решения одномерного уравнения Шрёдингера методом обрыва степенного ряда.

[1] Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984.

Презентация_8 (PDF, 722 Кб)

Семинар 9

Дата семинара: 18.03.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Введение в квантовый хаос. Часть 2»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: Данный обзорный доклад продолжает начатую на прошлом семинаре тему о сравнении поведения нелинейного осциллятора под воздействием периодически наносимых ему ударов в классическом и квантовом случаях. Также в докладе приведены примеры и других систем, обладающих свойством квантового хаоса.

Презентация_9 (PDF, 465 Кб)

Семинар 10

Дата семинара: 01.04.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Уравнение Кардара-Паризи-Жанга и его точные решения. Часть 1»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе дан вывод уравнения Кардара-Паризи-Жанга (KPZ), описывающего рост поверхности твёрдого тела. Также в докладе описан ряд точных решений уравнения KPZ как при учёте поверхностной диффузии напыляемого вещества, так и без него --- и в одномерном, и в двумерном случаях. Продемонстрировано применение формулы Кузнецова-Саичева для построения точных решений уравнения KPZ без диффузии в одномерном случае. Показано конструирование с помощью этой формулы одномерных точных решений уравнения KPZ, интересных для микроэлектронных приложений.

Семинар 11

Дата семинара: 08.04.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Уравнение Кардара-Паризи-Жанга и его точные решения. Часть 2»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе дан вывод уравнения Кардара-Паризи-Жанга (KPZ), описывающего рост поверхности твёрдого тела. Также в докладе описан ряд точных решений уравнения KPZ как при учёте поверхностной диффузии напыляемого вещества, так и без него --- и в одномерном, и в двумерном случаях. Продемонстрировано применение формулы Кузнецова-Саичева для построения точных решений уравнения KPZ без диффузии в одномерном случае. Показано конструирование с помощью этой формулы одномерных точных решений уравнения KPZ, интересных для микроэлектронных приложений.

Презентация_10-11 (PDF, 1,18 Мб)

Семинар 12

Дата семинара: 15.04.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада  1: «Уравнение Бюргерса и свойства его решений»
Докладчик: М.А. Писарев (студент 3-го курса бакалавриата кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе рассмотрены свойства уравнения Бюргерса, обусловленные его инвариантностью относительно преобразований Галилея. Описана стационарная волна уравнения Бюргерса и её галилеевское преобразование. Дан вывод решения Хохлова с помощью представлений о расширении Хаббла. Также построено общее решение задачи Коши на прямой для уравнения Бюргерса с помощью преобразования Коула-Хопфа.

Презентация_12.1 (PDF, 1,19 Мб)

Тема доклада 2: «Решение уравнение Кардара-Паризи-Жанга на четверти плоскости»
Докладчик 2: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе описано точное решение уравнения Кардара-Паризи-Жанга на четверти плоскости с постоянным потоком вещества на границе этой области. Это решение интересно для микроэлектронных приложений.

Презентация_12.2 (PDF, 569 Кб)

Семинар 13

Дата семинара: 22.04.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Уравнение Кардара-Паризи-Жанга и наноинженерия»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе дана трактовка уравнения Кардара-Паризи-Жанга (KPZ) с приповерхностным источником вещества как задачи оптимального управления распределённой системой и показана связь этой трактовки с наноинженерией. Рассмотрены примеры точных решений уравнения KPZ для простейших типов источников. Также для уравнения KPZ с подавленной поверхностной диффузией в докладе описана методика определения скорости роста поверхности твёрдого тела по направлению к её локальной нормали с помощью комбинированного использования сканирующей зондовой микроскопии и данных рассеяния видимого света на растущей поверхности.

Презентация_13 (PDF, 1,46 Мб)

Семинар 14

Дата семинара: 13.05.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Рассеяние электромагнитных волн на растущей согласно уравнению Кардара-Паризи-Жанга поверхности»
Докладчик: А.Э. Рассадин (аспирант кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде)

Аннотация доклада: В докладе описано решение следующих двух задач.
В первой задаче в рамках электродинамической модели мелкомасштабной поверхности вычислена пространственно-временная зависимость удельной эффективной поверхности рассеяния (УЭПР) снежного покрова (СП), представляющего собой статистически однородную цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными вертикальной оси. Её временная эволюция описана с помощью уравнения Кардара-Паризи-Жанга (KPZ) без поверхностной диффузии. На малых временах в случае гауссовой статистики и гауссовой автокорреляционной функции (АКФ) начального профиля подстилающей поверхности получено приближённое выражение для её спектральной плотности.
Во второй задаче в рамках мелкомасштабного приближения построена электродинамическая модель динамичного СП для ситуации, когда снег выпадает вблизи некоторого фиксированного направления в узком интервале телесных углов, то есть когда эффекты затенения дальними участками СП отсутствуют. В этом случае рост СП описывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, являющимся уравнение KPZ для данного случая. Параболичность эволюционного уравнения для СП отражает возможность снежинок перемещаться по СП, не прилипая к ней. В этом уравнении может быть учтена статистически однородная по пространственным координатам случайная плотностью источников снега непосредственно вблизи поверхности Земли. Благодаря линейности этой задачи удаётся точно вычислить нестационарный фурье-образ по пространственным координатам АКФ неоднородностей СП. Эта АКФ исследована при больших и малых временах наблюдения в случае стационарной плотности источников в приземном слое. Также рассмотрен случай резкого выключения этой плотности источников. УЭПР СП для всех возможных поляризаций падающих и отражённых от СП электромагнитных волн получается домножением спектральной плотности АКФ СП на коэффициенты рассеяния.

Презентация_14 (PDF, 1,11 Мб)

Семинар 15

Дата семинара: 20.05.2025, 11.00
Место проведения: Большая Печёрская ул., 25/12, ауд. 228 
Ссылка на онлайн трансляцию: https://telemost.yandex.ru/j/13027806311076

Тема доклада: «Решение уравнения Римана методом обрыва степенного ряда»
Докладчик: М.А. Писарев
студент 3-го курса бакалавриата кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде

Аннотация доклада: В докладе решение задачи Коши на прямой для уравнения Римана ищется в виде ряда Тейлора по координате. Для коэффициентов этого ряда Тейлора, зависящих от времени, получается нелинейная счётномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Для её приближённого решения эти коэффициенты, начиная с некоторого, полагаются равными нулю, что и соответствует обрыву степенного ряда. Приближённое решение сравнивается с точным, полученным из известного разложения Бесселя-Фубини. Также в докладе, исходя из связи двух точных решений уравнения Римана с помощью преобразования Гурбатова, доказана теорема о связи соответствующих им точных решений счётномерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Презентация_15 (PDF, 666 Кб)