Аннотации мини-курсов

Аннотация курса:

На примере нелинейного уравнения типа Эмдена – Фаулера порядка n ≥3 будет рассказано, как строится динамическая система на (n -1) - мерной сфере, позволяющая получить асимптотическую классификацию всех решений уравнения для n=3,4 и доказать существование "blow-up"решений со степенной асимптотикой для уравнений более высокого порядка. Будет показано использование бифуркационной теоремы Хопфа для доказательства существования "blow-up"решений с нестепенной асимптотикой и леммы Сарда для доказательства нетипичности степенной асимптотики таких решений для сильно нелинейных дифференциальных уравнений.

Аннотация курса:

Курс из двух лекций будет посвящен дифференциальным уравнениям на плоскости - области, в которой построена почти законченная теория и которую можно назвать царством порядка, и уравнениям и отображениям в высших размерностях - области, которую можно назвать царством хаоса.

Аннотация курса:

Гамильтонову систему с двумя степенями свободы называют интегрируемой, если у нее имеется первый интеграл F, независимый с энергией H. Топологическая классификация таких систем была построена в работах Фоменко А.Т.  и его школы. Системе в неособой зоне ее энергии сопоставляется "молекула" - граф с вершинами-"атомами", отвечающими невырожденным бифуркациям регулярных слоев интеграла F, и числовыми метками, отвечающими склейкам граничных торов этих атомов.

Будет рассказано об основных идеях и конструкциях топологического подхода, применявшегося ко многим известным системам механики, и о развитии этого подхода для класса "псевдоевклидовых" аналогов таких стстем, введенных недавно Борисовым А.В. и Мамаевым И.С.

Аннотация курса:

Многие задачи анализа динамики нелинейных систем удаётся решить только с использованием численного анализа, то есть без строгих доказательств. В этой ситуации большое значение имеет выбор применяемых численных методов. Строгая математическая обоснованность в численном анализе, принципиально недостижимая в частных случаях его применения, должна, тем не менее, быть присуща используемым в его рамках методам.

В этих лекциях мы будем обсуждать ляпуновский анализ — математически строго обоснованный подход к численному исследованию нелинейных динамических систем, в основе которого лежит идея вычисления так называемых показателей Ляпунова и связанных с ними ковариантных ляпуновских векторов.

Мы подробно, начиная с элементарного введения, рассмотрим процедуру вычисления показателей Ляпунова для динамических систем и обсудим, что можно сказать о характере динамики системы, имея спектр её показателей. Показатели Ляпунова удаётся вычислить только с некоторой погрешностью. Мы обсудим как оценить эту погрешность, используя метод доверительных интервалов, заимствованный из математической статистики.

Затем мы обсудим ковариантные ляпуновские вектора и метод их вычисления. Рассмотрим связанный с ковариантными векторами метод нахождения углов между подпространствами, касательными к устойчивым и неустойчивым многообразиям траекторий динамической системы, а также обсудим основанную на критерии углов численную проверку гиперболичности и псевдогиперболичности хаотической динамики. 

Темы лекций:

1. Вычисление показателей Ляпунова и их использование для идентификации режимов динамики;
2. Оценка точности вычисления показателей Ляпунова по методу доверительных интервалов;
3. Вычисление ковариантных ляпуновских векторов и численная проверка гиперболичности и псевдогиперболичности хаотической динамики на основе критерия углов.

Аннотация курса:

В лекциях будет рассказано о методе построения алгебро-геометрических (конечнозонных) решений уравнения  КдФ. Такие решения выражаются через тэта-функцию гиперэллиптической спектральной кривой. В случае, когда гиперэллиптическая кривая вырождается в сингулярную кривую (в сферу с двойными точками) решение выражается через элементарные функции, в частности, таким способом можно получить солитонные быстро убывающие решения.

Аннотация курса:

Цель настоящего курса — дать общее представление о такой области математики как спектральная теория дифференциальных операторов. Мы обсудим, в каких прикладных задачах имеется необходимость изучения этих объектов, рассмотрим свойства спектров конкретных дифференциальных операторов, возникающих в задачах математической физики, а также разберем простейшие задачи. Кроме того, будут предложены некоторые актуальные проблемы в данной области.

Аннотация курса:

Перекладывания отрезков - простой комбинаторный объект, обобщающий поворот окружности: это кусочно-линейное взаимно-однозначное отображение отрезка в себя, которое на каждом отрезке непрерывности является сдвигом. Эти отображения возникают в очень разных контекстах в различных разделах математики - теории динамических систем, топологии, геометрической теории групп. 

Будет рассказано об их различных свойствах - от комбинаторной сложности до эргодических характеристик и перемешивания - и о том, как эти свойства оказываются полезными в решении различных задач не только в математике, но и в физике. Мы постараемся обсудить как классические результаты из 60-70 годов, так и недавние прорывы и интересные открытые вопросы. 

Лекции в рамках курса:

Лекция 1, в которой мы повернем окружность и узнаем, как можно обобщить самую главную динамическую систему в истории и при чем тут алфавиты и языки;

Лекция 2, в которой мы поиграем на бильярде и склеим поверхности из многоугольников;

Лекция 3, в которой математики придут на помощь физикам, а мы разберемся, за что Мариам Мирзахани и Артур Авила получили свои филдсовские медали.

 
Аннотация курса:

В лекциях будет рассказано о кинематическом и динамическом описании идеальной жидкости. Рассмотрены потенциальные и вихревые течения. Подробное описание приводится на языке потенциала скорости. Уделено внимание методу изображений для решения возникающих дифференциальных уравнений. Приведены простейшие решения уравнений движения идеальной жидкости в виде вихрей и источников. Рассмотрены уравнения движения нескольких вихрей в форме канонических уравнений Гамильтона.

Аннотация курса:

В лекциях речь пойдет о нескольких подходах к понятию хаоса в динамических системах с гладкой инвариантной мерой. Будут затронуты проблемы интегрируемости, расщепления сепаратрис, символической динамики, антиинтегрируемого предела и др.