• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Теория вероятностей и математическая статистика

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
8
Кредиты

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на общем курсе математического анализа и используется при чтении курса Эконометрики. Используется для изучения различных дисциплин блока Data Culture. В курсе рассматриваются основные модели теории вероятностей и математической статистики. Это позволит студентам вычислять и оценивать вероятности случайных событий и характеристики случайных величин, использовать основные законы теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является изучение студентами методов теории вероятностей и математической статисти-ки.
  • Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является изучение студентами методов теории вероятностей и математической статистики.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Уметь вычислять вероятность случайного события. Знать основные модели элементарной теории вероятностей.
  • Знать получение схемы Бернулли.
  • Изучить понятие случайной величины. и функции распределения.
  • Изучить типовые случайные величины.
  • Понимать концепцию случайного вектора. Изучить понятие многомерное распределение.
  • Изучить типы связи случайных величин
  • Понимать и уметь использовать числовые характеристики случайной величины.
  • Разбираться в числовых характеристиках случайного вектора.
  • Изучить и уметь применять понятие характеристической функции.
  • Изучить и уметь доказывать простейший вариант центральной предельной теоремы.
  • Изучить основные понятия теории случайных процессов.
  • Изучить типовые случайные процессы.
  • Изучить основные понятия математической статистики.
  • Понимать основные понятия выборочного метода.
  • Знать методы точечного оценивания параметров..
  • Уметь строить интервальные оценки параметров.
  • Знать типовые критерии согласия.
  • Уметь использовать вероятностное интегральное преобразование.
  • Изучить теория Неймана-Пирсона.построения оптимальных тестов проверки простой гипотезы против простой альтернативы
  • Уметь строить оптимальные тесты проверки гипотез.
  • Знать основные понятия многомерного статистического анализа.
  • Уметь проверять гипотезы о параметрах многомерного распределения.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • 1. Вероятность случайного события.1.1. Элементарная теория вероятностей.
    Задача де Мере. Пространство элементарных исходов. События и операции над ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Способы за-дания вероятности. Простейшие следствия из аксиом. Условная вероятность и её свойства. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Независимые события и их свойства. Независимость в совокупности.
  • 1.2. Схема Бернулли.
    Дискретное и абсолютно-непрерывное вероятностные пространства. Дискретная случайная величина и её распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа).
  • 2. Случайная величина. 2.1. Распределение.
    Общее определение случайной величины. Распределение и функция распределе-ния. Свойства функции распределения. Разложение функции распределения и типы случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства. Распределение времени безотказной работы сложной системы без учёта эффекта усталости.
  • 2.2. Типовые случайные величины.
    Дискретные случайные величины: гипергеометрическая, биномиальная, геометри-ческая, отрицательно-биномиальная, пуассоновская. Непрерывные случайные величины: равномерная, нормальная, экспоненциальная, Вейбулла, гамма-распределение.
  • 3. Случайный вектор. 3.1. Многомерное распределение.
    Функция совместного распределения нескольких случайных величин и её свойства. Дискретный случайный вектор: полиномиальное распределение, многомерное распределение Пуассона. Непрерывный случайный вектор: равномерное распределение, многомерное нормальное распределение. Маргинальное распределение.
  • 3.2. Типы связи случайных величин.
    Условное распределение. Формулы полной вероятности и Байеса для случайных величин. Независимость случайных величин. Функции случайных величин. Моно-тонные функции, распределение суммы и частного независимых случайных вели-чин.
  • 4. Числовые характеристики. 4.1. Числовые характеристики случайной величины.
    Моменты распределения случайной величины. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и её свойства. Коэффициенты ассиметрии и эксцесса. Мода, медиана, квантили.
  • 4.2. Числовые характеристики случайного вектора.
    Смешанные моменты. Ковариация и её свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Независимость нормально распределённых случайных величин. Услов-ное математическое и его свойства. Понятие о корреляционной связи.
  • 5. Предельные теоремы. 5.1. Характеристическая функция.
    Производящая функция моментов. Моменты нормального распределения. Харак-теристическая функция и её свойства. Замкнутость нормального распределения от-носительно линейного преобразования.
  • 5.2. Центральная предельная теорема.
    Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Муавра- Лапласа. Цен-тральная предельная теорема для независимых одинаково распределённых слу-чайных величин. Условие Линдеберга. Роль нормального распределения.
  • 6. Случайные процессы. 6.1. Основные понятия.
    Понятие о случайном процессе. Конечномерное распределение. Числовые характе-ристики случайного процесса. Процессы с непрерывным и дискретным временем. Стационарность в широком и узком смысле. Эргодичность.
  • 6.2. Типовые случайные процессы.
    Пуассоновский процесс. Винеровский процесс. Гауссовский процесс. Марковские процессы. Матрица переходных вероятностей. Уравнения Колмогорова-Чепмена.
  • 7. Введение в математическую статистику. 7.1. Основные понятия.
    Статистическая структура и вероятностное пространство. Выборка. Функция правдо-подобия. Повторная выборка. Статистика. Тип задач: оценивание параметров, про-верка гипотез. Примеры задач теории статистических решений.
  • 7.2. Выборочный метод.
    Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко. Гистограмма. Выбороч-ные моменты. Частота и вероятность. Оценка числа наблюдений на основе теоремы Муавра-Лапласа.
  • 8. Оценивание параметров. 8.1. Точечные оценки.
    Методы построения точечных оценок: метод моментов, оценки максимального правдоподобия, байесовские оценки. Свойства оценок: состоятельность, несме-щённость, эффективность. Неравенство Рао-Крамера. Примеры.
  • 8.2. Интервальные оценки.
    Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Ассимптотическая эффективность и нормальность точечных оценок и доверительные интервалы.
  • 9. Критерии согласия 9.1. Типовые критерии согласия.
    Простые и сложные гипотезы согласия. Критерии Колмогорова и Смирнова. Крите-рий хи-квадрат. Хи-квадрат распределение. Распределение статистик согласия. Критерии нормальности и характеризационные свойства. Критерий Шапиро-Уилка.
  • 9.2. Вероятностное интегральное преобразование.
    Роль равномерного распределения. Общий метод генерирования случайных вели-чин с заданным распределением. Генерирование нормально распределённых слу-чайных величин. Класс тестов Е.С.Пирсона.
  • 10. Теория Неймана-Пирсона. 10.1. Тесты Неймана-Пирсона.
    Простые и сложные гипотезы и альтернативы. Ошибки первого и второго рода. Лемма Неймана-Пирсона. Уровень значимости и функция мощности. Семейство с монотонным отношением правдоподобия.
  • 11. Введение в многомерный статистический анализ. 11.1. Выборочные характеристики
    Выборочные корреляционная и ковариационная матрицы. Несмещённая оценка ковариации и коэффициента корреляции. Метод наименьших квадратов. Выбороч-ный аналог уравнения линейной регрессии. Понятие о нелинейной регрессии.
  • 11.2. Проверка гипотез о параметрах многомерного распределения.
    Равномерно наиболее мощный тест независимости двух нормальных величин и его обобщение. Проверка гипотезы независимости множества нормальных величин. Тест максимального правдоподобия. Доверительные интервалы.
  • 10.2. Оптимальные тесты проверки гипотез.
    Равномерно наиболее мощные в классе несмещённых тесты. Инвариантность. Ми-нимальный полный класс байесовских решающих правил.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий самостоятельные работы
  • неблокирующий Экзамен
    " Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."
  • неблокирующий самостоятельные работы
  • неблокирующий Экзамен
    "Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com),. К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.5 * самостоятельные работы + 0.5 * Экзамен
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.25 * самостоятельные работы + 0.25 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Иванов Б.Н. - Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 224с. - ISBN: 978-5-8114-3636-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/113901
  • Калинина В. Н. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2-е изд., пер. и доп. Учебник для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 472с. - ISBN: 978-5-9916-8773-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-433801
  • Кацко И.А. - Теория вероятностей и математическая статистика (для бакалавров). Учебное пособие - КноРус - 2019 - 389с. - ISBN: 978-5-406-06704-8 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/930219
  • Малугин В. А. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 470с. - ISBN: 978-5-534-05470-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-441337
  • Малугин В. А. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебник и практикум для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 470с. - ISBN: 978-5-534-06572-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-441409
  • Мятлев В. Д., Панченко Л. А., Ризниченко Г. Ю., Терехин А. Т. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 2-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 321с. - ISBN: 978-5-534-01698-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-matematicheskie-modeli-434183
  • Попов А. М., Сотников В. Н. ; Под ред. Попова А.М. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2-е изд., испр. и доп. Учебник для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 434с. - ISBN: 978-5-534-01058-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-433536

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Алибеков И.Ю. - Теория вероятностей и математическая статистика в среде MATLAB: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 184с. - ISBN: 978-5-8114-3846-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/121484
  • Бондаренко П.С., Горелова Г.В., Кацко И.А. под ред. и др. - Теория вероятностей и математическая статистика (для бакалавров) - КноРус - 2017 - 389с. - ISBN: 978-5-406-05578-6 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/920636
  • Далингер В. А., Симонженков С. Д., Галюкшов Б. С. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА С ПРИМЕНЕНИЕМ MATHCAD 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для прикладного бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 145с. - ISBN: 978-5-534-10080-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-s-primeneniem-mathcad-434656
  • Кацман Ю. Я. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ. Учебник для прикладного бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 130с. - ISBN: 978-5-534-10082-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-primery-s-resheniyami-433980
  • Кацман Ю. Я. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ. Учебник для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 130с. - ISBN: 978-5-534-10083-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-primery-s-resheniyami-434011
  • Кремер Н. Ш. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 4-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для бакалавриата и специалитета - М.:Издательство Юрайт - 2018 - 264с. - ISBN: 978-5-534-01925-4 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-v-2-ch-chast-1-teoriya-veroyatnostey-421232
  • Пугачев В.С. - Теория вероятностей и математическая статистика - КноРус - 2017 - 496с. - ISBN: 978-5-4365-1551-9 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/922288