Элементы функционального анализа

2025/2026

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Кафедра прикладной математики и информатики (Нижний Новгород) (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

3-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Чистяков Вячеслав Васильевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс охватывает базовые понятия и методы функционального анализа, необходимые для решения широкого круга задач современной математики и её приложений. В рамках программы рассматриваются такие темы, как метрические пространства, линейные нормированные пространства, компактность, операторы в гильбертовых пространствах, спектральная теория операторов и другие важные аспекты теории функций. Особое внимание уделяется применению методов функционального анализа в различных областях науки и техники, включая численные методы, теорию управления и обработку сигналов.

Цель освоения дисциплины

• Целью изучения дисциплины "Элементы функционального анализа" является получение современных фундаментальных знаний, основанных на функциональном подходе к различным объектам в математике и ее приложениях. Теоретическую основу этих знаний составляют метрические, норминованные, банаховы, гильбертовы и топологические пространства, объекты которых изучаются современными методами. В частности, рассматриваются методы, базирующиеся на идеях близости, сходства, аналогии. Освоение основ функционального анализа необходимо для эффективного представления о способах обработки метрической и другой информации вычислительными системами.

Планируемые результаты обучения

• Знать основные определения и понятия. Уметь решать задачи, связанные с теорией множеств.
• Знать основные определения и понятия. Уметь решать задачи, связанные с отображениями.
• Знать определения и формулировки основных теорем. Уметь работать с верхним и нижним пределами вещественных последовательностей.
• Знать основные определения и понятия. Уметь применять теорию метрических пространств к решению задач.
• Знать основные определения, понятия и неравенства. Уметь применять теорию линейных пространств к решению задач.
• Знать определения и понятия. Уметь применять теорию к решению задач.
• Знать определения и свойства шаров. Уметь применять теорию к решению задач.
• Знать определение колебания функции на множестве. Уметь применять теорию к решению задач.
• Знать определения и понятия, связанные с метрическими и топологическими пространствами. Уметь применять теорию к решению задач.
• Знать определения, формулировки теорем. Уметь решать задачи, опираясь на доказательства теорем.

Содержание учебной дисциплины

• Элементы теории множеств
• Функции и отображения
• Последовательности
• Метрические пространства
• Линейные пространства и линейные нормированные пространства
• Пространство ограниченных функций
• Шары и сферы, диаметр множества
• Колебание функции на множестве
• Топология метрического пространства
• Предельные точки, замыкание и граница множества

Элементы контроля

• Контрольная работа
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.5 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Функциональный анализ : учебное пособие / В. И. Белоусова, А. А. Кныш, К. С. Поторочина [и др.]. — Екатеринбург : УрГЭУ, 2023. — 88 с. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/417821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Элементы теории функций и функционального анализа, [учебник], 7-е изд., 570 с., Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс функционального анализа, учебное пособие, 2-е изд., стер., 271 с., Люстерник, Л. А., Соболев, В. И., 2018

Авторы

• Чистяков Вячеслав Васильевич