• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Бакалаврская программа «Экономика»

Линейная алгебра

2020/2021
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
5
Кредиты

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

В рамках курса студенты изучают матрицы и определители; системы линейных уравнений; аналитическую геометрию; линейные операторы; евклидовы пространства; линейные, билинейные и квадратичные формы. По дисциплине предусмотрены текущий контроль в форме письменных контрольных работ и итоговый контроль в форме экзамена. Итоговая оценка по дисциплине (оценка по промежуточной аттестации) выставляется с учетом результатов как текущего, так и итогового контроля.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Овладение основами линейной алгебры
  • Приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата линейной алгебры и широкого арсенала технических приемов при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Освоить матричную алгебру. Знать свойства и алгоритмы вычисления определителей
  • Исследовать системы линейных алгебраических уравнений. Знать основные методы решения уравнений
  • Расширить школьные понятия векторной алгебры. Уметь применять векторную алгебру для решения задач аналитической геометрии.
  • Усвоить аксиоматику линейных пространств, понятие линейной зависимости векторов и базиса. Находить координаты векторов в различных базисах.
  • Усвоить понятие линейного преобразования. Находить матрицы оператора в различных базисах. Уметь находить собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
  • Уметь для евклидовых пространств низкой размерности переходить от произвольного базиса к ортонормированному. Иметь понятие об ортогональном и самосопряженном операторах.
  • Уметь приводить квадратичные формы к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований. Определять знак квадратичной формы.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Матрицы и определители
    Понятие матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Определители низких порядков. Определение определителя n-го порядка, его свойства. Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка. Обратная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы. Линейная зависимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о базисном миноре.
  • Системы линейных уравнений
    Понятие системы линейных уравнений и ее решений. Формулы Крамера для квадратной невырожденной системы. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Исследование произвольной совместной системы. Свойства совокупности решений однородной системы. Условия существования нетривиальных решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Общее решение. Связь между общими решениями неоднородной системы и соответствующей ей однородной системы.
  • Аналитическая геометрия
    Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Расстояние от точки до плоскости и до прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости и в пространстве.
  • Линейные пространства
    Определение линейного пространства. Примеры конкретных линейных пространств (геометрическое пространство свободных векторов Vk, k=1,2,3; пространство матриц Rmn арифметическое пространство и др.). Определение линейной зависимости. Линейная зависимость системы, включающую линейно зависимую подсистему элементов. Линейная независимость подсистемы линейно независимой системы. Базис и размерность линейного пространства. Единственность разложения по базису. Преобразование координат при замене базиса. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и линейные оболочки линейного пространства
  • Линейные операторы
    Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Преобразование матрицы линейного оператора f: V V при переходе к новому базису. Подобные матрицы. Вырожденные и невырожденные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям оператора. Характеристический многочлен. Связь корней характеристического многочлена с собственными значениями оператора. Независимость характеристического многочлена оператора от выбора базиса. Оператор простой структуры.
  • Евклидовы пространства
    Определение евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Нормированные линейные пространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Метод ортогонализации базиса. Скалярное произведение элементов в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Ортогональность матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Ортогональный оператор. Самосопряженный оператор. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора.
  • Линейные, билинейные и квадратичные формы
    Определение билинейной формы конечного числа переменных. Определение квадратичной формы конечного числа переменных Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду: метод ортогональной матрицы; метод Лагранжа. Связь квадратичной формы с самосопряженным оператором. Закон инерции для квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра определения знака квадратичной формы.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная работа №1
    В случае пропуска студентом контрольной работы без уважительной причины, его оценка за соответствующую контрольную работу берется равной 0. В случае пропуска студентом контрольной работы по причине болезни (подтвержденной медицинской справкой), ему предоставляется возможность пересдать контрольную работу за более чем 10 дней до начала сессии
  • неблокирующий контрольная работа №2
    В случае пропуска студентом контрольной работы без уважительной причины, его оценка за соответствующую контрольную работу берется равной 0. В случае пропуска студентом контрольной работы по причине болезни (подтвержденной медицинской справкой), ему предоставляется возможность пересдать контрольную работу за более чем 10 дней до начала сессии
  • неблокирующий контрольная работа № 3
    В случае пропуска студентом контрольной работы без уважительной причины, его оценка за соответствующую контрольную работу берется равной 0. В случае пропуска студентом контрольной работы по причине болезни (подтвержденной медицинской справкой), ему предоставляется возможность пересдать контрольную работу за более чем 10 дней до начала сессии
  • неблокирующий экзамен
    Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Moodle (https://et.hse.ru/), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.1 * контрольная работа № 3 + 0.1 * контрольная работа №1 + 0.1 * контрольная работа №2 + 0.7 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математика для экономического бакалавриата: Учебник / Красс М.С., Чупрынов Б.П. - М.:НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 472 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат) (Переплёт 7БЦ) ISBN 978-5-16-004467-5 - Текст : электронный. - URL: http://znanium.com/catalog/product/558399

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Линейная алгебра и аналитическая геометрия, учебник, 3-е изд., перераб. и доп., 392 с., Ильин, В. А., Ким, Г. Д., 2014
  • Математика для экономистов, учебное пособие, 464 с., Красс, М. С., Чупрынов, Б.В., 2010