Аннотации лекций

Развитие методов генетической инженерии привело к созданию синтетических генетических контуров, которые можно внедрить в бактерии. В 2000 году были опубликованы две работы: в одной был построен простой переключатель из двух генов, т.е. система с тремя стационарными состояниями, из которых только два устойчивы; во второй был предложен осциллятор в виде кольца из трех генов и найдены условия для образования устойчивого предельного цикла. Оба контура могут использоваться как базовые элементы в реальных генетических сетях. В первой лекции будут рассмотрены основные реакции между элементами генетической сети и построены системы дифференциальных уравнений для переключателя и осциллятора.

Эффективность синтетических генетических контуров для регуляции динамического поведения ансамбля клеток зависит от наличия взаимодействия между ними, которое не так просто сконструировать. Один из вариантов обмена регуляторными факторами, заимствованный у бактерий, будет рассмотрен во второй лекции на примере систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих образование структур и синхронизацию колебаний в популяции клеток.            

Третья лекция будет посвящена математическому моделированию одного механизма генерации разнообразия динамических режимов в системе генетических осцилляторов.

Mathematical billiards arise in many domains of mathematics, mechanics and physics. Their investigation is on cross-road of several branches of mathematics, including dynamical systems, Riemannian and symplectic geometry, algebraic geometry. In these lectures we will see and example: how right triangular billiards arise in mechanics.We will discuss several long-standing problems on billiards, including Birkhoff's Conjecture on integrable billiards and Ivrii's Conjecture on periodic orbits, and recent advances in their investigation.

Лекция лекция будет посвящена случайным динамическим системам на прямой. 
В то время как для динамических систем на компактных фазовых пространствах существование инвариантной меры гарантировано классической теоремы Крылова-Боголюбова, доказательство которой почти дословно обобщается для случая случайных динамических систем и стационарной меры, в некомпактном случае (простейшим примером которого и является прямая) эти методы не работают. При этом инвариантные и стационарные меры являются одним из основных инструментов теории динамических систем. 
Теорема Деруана, Клепцына, Наваса и Парвани утверждает, что в весьма широких предположениях для _симметричной_ динамической системы на прямой нет вероятностной стационарной меры, но существует (радоновская) стационарная мера бесконечной полной массы. 
Я обобщу эту теорему на случай несимметричных динамических систем на прямой, классифицировав их по возможному поведению точек. Этот результат также связан с работами Гиварша, Брофферио, Хомбурга. 

Аннотация: Канторовы множества естественным образом появляются в гладкой, комплексной и гамильтоновой динамике, теории чисел, спектральной теории и многих других областях математики. Класс динамически определенных канторовых множеств характеризуется существенными свойствами самоподобия. Стандартное канторово множество, получаемое удалением средней трети отрезка на каждом шагу, является примером динамически определенного канторова множества. В этом мини-курсе мы обсудим основные свойства и примеры канторовских множеств, а также их фрактальную размерность. Мы увидим, как эти множества появляются в задачах, связанных с гомоклиническими касаниями, непрерывными дробями и спектральными свойствами одномерных квазикристаллов. На этом пути естественным образом возникнут вопросы о суммах и пересечениях канторовских множеств. Также будут сформулированы некоторые открытые вопросы и гипотезы в этой области. 

Лекция 1. Динамически определенные канторовы множества.
Определение и примеры канторовых множеств и других фракталов. Системы итерированных функций. Динамически определенные канторовы множества. Примеры (тент-отображение, непрерывные дроби ограниченного типа, однородные и аффинные канторовы множества). Хаусдорфова и энтропийная размерность. Формула Морана. 
Лекция 2. Суммы канторовых множеств. 
Задачи, связанные с суммами и пересечениями канторовых множеств, в динамических системах, теории чисел и спектральной теории. Сумма стандартного канторовского множества с самим собой.  «Густота» канторовского множества.  Лемма Ньюхауса. Гипотезы Палиса о суммах канторовых множеств. Некоторые открытые вопросы. 
Лекция 3. Канторовы множества в спектральной теории. 
Квазикристаллы. Математические модели квазикристаллов. Эргодические дискретные операторы Шрёдингера, примеры. Оператор с потенциалом Фибоначчи и его спектр. Известные результаты и открытые вопросы. 

O-Minimality serves as a very successfull framework for tame geometry beyound the algebraic category. Important concepts of analysis can be realized in o-minimal structures. This talk provides a gentle introduction to o-minimal structures.

Мини-курс будет посвящён введению в основы теории динамических систем.
В начале будут разобраны несколько простых примеров динамических систем и их бифуркаций,
и примеров их появления в реальном мире.
Затем - основные инструменты и доказательства
теорем: для диффеоморфизмов окружности будет введено понятие числа вращения, 
будет разобрано доказательство теоремы Пуанкаре, будут затронуты понятия инвариантной меры,
показатель Ляпунова, отображения Пуанкаре и искажения отображения,
а также будет построен пример Данжуа и проведен разбор доказательства теоремы Данжуа.

Цель этой серии лекций объяснить некоторые основные гомотопические инварианты топологических пространств, проиллюстрировать их вычисления и применения в разных областях математики.
Будут рассмотрены такие темы:
1) Понятие гомотопии. Гомотопические эквивалентности и гомотопический тип. Ретракции и деформационные ретракты.
2) Фундаментальная группа и высшие гомотопические группы топологического пространства.
3) Длинная точная последовательность гомотопических групп пары топологических пространств.
4) Расслоения Серра. Длинная точная последовательность гомотопических групп для расслоений Серра.
5) Компактно открытые топологии. Гомотопии как пути в функциональных пространствах.
6) Клеточные комплексы.
7) Теорема Зейферта - ван Кампена. Вычисление фундаментальных групп клеточных комплексов.
8) Построение компактного топологического пространства с заданной конечно-представленной фундаментальной группой.
Курс рассчитан на студентов, которые знакомы с основами математического анализа, общей топологии и теории групп.

В первой лекции будет представлено все без уравнений (доступно также для старшеклассников),
Во второй лекции в простых терминах будут объяснены основы отображений на окружности и соответствующие свойства ОДУ, возможно, если будет время, мы представим, как описать коллективную синхронизацию для многих осцилляторов.

Наша Земля находится в непрерывном движении и изменении, что зачастую проявляется как стихийные бедствия. То и дело, радио и телевидение сообщает о наводнениях, тропических циклонах, землетрясениях, цунами, катастрофической жаре, засухе, падений астероидов и других событиях, влекущих человеческие жертвы и многочисленные разрушения. В данном курсе мы сделаем упор на природных катастрофах, происходящих в водной среде (океанах, морях, реках и озерах). Только в декабре 2018 года произошли события, поражающие своими размерами. Так, 11 декабря в реку Бурея (Дальний Восток России) сошел оползень, приведший к подъему воды в реке местами до 90 м. Остановка реки вызвала бы катастрофические последствия на Бурейской ГЭС, так что пришлось проводить взрывные работы, чтобы очистить русло реки. К счастью, это событие произошло в необжитых местах и не привело к гибели людей. 22 декабря произошло катастрофическое извержение вулкана Анак Кракатау в Индонезии, приведшее к образованию больших волн и человеческим жертвам. Максимальный подъем воды на ближайшем к вулкану острове составил 85 м. 3 декабря уже 2019 года затоплен порт Корсаков на Сахалине. Можно привести подобные примеры наводнений и в нашем регионе. В 1896 году в Нижнем Новгороде (в районе Ярмарки) и в 1908 году на Красной площади в Москве можно было передвигаться только на лодках.  Все это говорит о важности предсказания таких катастрофических событий, что может быть сделано с помощью компьютерных моделей, опирающихся на надежные теоретические модели явления.

В лекциях будет дан обзор различных катастроф в водной среде, происходящих в различных частях света. Мы обсудим также несколько базовых идеализированных моделей, позволяющих оценивать характеристики стихийных бедствий. Будет предложено решить несколько тестовых задач, направленных на оперативный прогноз водных катастроф. В заключение будет продемонстрировано, как сейчас «работают» прогностические модели явлений.

Мини-курс состоит из 4 лекций и представляет собой элементарное введение в теорию C_0-полугрупп для специалистов по нелинейным динамическим системам. Будет показано, как из многообразия сделать линейное пространство без локальных координат, и как из нелинейной функции сделать линейную без линеаризации. Будут напомнены основные понятия линейного функционального анализа - линейные пространства, линейные операторы. Будет дано определение ограниченного линейного оператора и показано, чем оно отличается от определения ограниченной нелинейной функции. В частности, будет доказано, что для линейного оператора ограниченность равносильна непрерывности и равномерной непрерывности. Будет дано определение C_0-полугруппы и показано, что оно является частным случаем определения потока в теории динамических систем. Будет рассказано о связи C_0-полугрупп и эволюционных уравнений с частными производными, а также о том, как находить приближённые решения этих уравнений с помощью методов функционального анализа. Для понимания лекций достаточно владения математикой в объёме первого курса бакалавриата по направлению "математика".

In these lectures we aim to provide an overview on how variational methods can be applied to the study of the dynamics of Hamiltonian systems. In particular, we shall describe the main ideas behind what is nowadays called Aubry-Mather theory, which allows one to construct a plethora of compact invariant subsets for the dynamics of the system. Besides being very significant from a dynamical systems point of view, these objects also appear in other different contexts: such as in the study of the Hamilton-Jacobi equation, in billiard dynamics, etc. We shall describe some of these applications.

This talk will present a generalization of billards called projective billards. In such billards, the law of reflexion is not defined by the usual orthogonal symetries with respect to the tangent lines of the billard tables. Instead, the curves defining the billard tables are endowed with a field of lines, giving place to another reflexion law at each point of the borders. Playing on these tables, we can therefore investigate the same questions as for the usual billards, and for example try to answer Ivrii's conjecture: are there billard tables on which one can find a two-dimensionnal set of periodic orbits ? Even more, is it possible to classify such tables ? I will present a result for triangular periodic orbits, and on the pretext of giving ideas of the proof I will try to display some basics of analytic geometry.