Описание научного проекта

Проект № 23-00-028 "Динамические системы с многомерным фазовым пространством: от регулярной динамики к хаосу". 2023 г.

Направление исследований: качественная теория динамических систем.

В рамках исследования предполагается получить  результаты по двум основным направлениям:

   1. Топологическая классификация систем с регулярной динамикой.

   2. Численное моделирование динамики автономных  и неавтономных систем с четырехмерным фазовым пространством.

В направлении 1 предполагается решить следующие задачи:

1.1. выделение содержательного класса каскадов с регулярной динамикой и трехмерным фазовым пространством, допускающих топологическую классификацию в комбинаторных терминах,  построение канонического представителя каждого класса топологической сопряженности на множестве таких систем и оценка эффективности комбинаторных инвариантов;

1.2. топологическая классификация полярных потоков с четырехмерным фазовым пространством, включая решение задачи реализации.

В направлении 2 предполагается решить следующие задачи:

2.1. исследование неавтономной четырехмерной динамической системы – модель трехмерного генератора Анищенко-Астахова под периодическим гармоническим воздействием;

2.2. исследование автономоной четырехмерной динамической системы – модель модифицированного генератора Анищенко-Астахова, проведение сопоставления динамик автономной и неавтономной систем;

2.3. исследование неавтономной четырехмерной динамической системы – модель трехмерного генератора Анищенко-Астахова под периодическим импульсным воздействием, сопоставление динамик со случаями автономной системы и системы под гармоническим воздействием.

2.4.  создание  мультизадачного обучающего программного комплекса, позволяющего строить   фазовые портреты систем с непрерывным и дискретным временем  и  иллюстрирующего базовые разделы  курса "`Дифференциальные уравнения и динамические системы"';

Цель, задачи и актуальность исследования:

Цель исследований в направлении 1 состоит в получении новых  классификационных результатов для структурно-устойчивых динамических систем с непрерывным и дискретным временем (потоков и каскадов соответственно), имеющих конечное неблуждающее множество. Проблема топологической классификации  структурно устойчивых (грубых) динамических систем восходит к классическим работам Андронова, Понтрягина, Леонтович, Майера и Гордона и долгое время остается в фокусе внимания математиков. Актуальность исследования  обуславливается двумя главными причинами: во-первых,  именно структурно-устойчивые динамические системы являются адекватными моделями процессов, изучаемых естественными и социальными науками; во-вторых, изучение динамики в рамках качественной теории имеет тесную связь с топологией и исследования в этом направлении развивает  методы обоих наук.   Наиболее ярко  необходимость в новейших топологических результатах проявляется при решении классификационных задач для систем с многомерным фазовым пространством. В ходе исследования предполагается применить эти результаты для выделения класса каскадов с трехмерным фазовым пространством, допускающих комбинаторное описание, а также получению топологических инвариантов для полярных потоков с четырехмерным фазовым пространством. 

Цель исследования по направлению 2 заключается в разработке универсального подхода конструирования систем с автономным квазипериодическим поведением и исследование нелинейных эффектов, проявляющихся в них. Квазипериодические колебания представляют собой самостоятельный класс, достаточно широко распространенный в науке и технике. В общем виде данный класс колебаний можно представить как колебания, характеризующиеся несколькими несоизмеримыми частотами. В простейшем случае колебания имеют две несоизмеримые компоненты и тогда в фазовом пространстве наблюдается тор-аттрактор. Наиболее просто реализовать двух-частотные квазипериодические колебания можно, подав на систему с предельным циклом периодическое воздействие, когда частота собственных автоколебаний будет находиться в иррациональном соотношении с частотой внешнего воздействия. При этом система будет неавтономной. Проблема автономных квазипериодических колебаний – является далеко незавершенной. Достаточно недавно были предложены два автономные модели радиофизических генераторов, демонстрирующие автономные квазипериодические колебаний. Одна из них была реализована как модификация автономной системы с автоколебаниями, новая переменная в системе создает модуляцию, при этом возникают квазипериодические колебания. В рамках данного проекта планируется анализ автономной системы и ее сравнение с оригинальной неавтономной системой. В результате исследования будет разработан универсальный подход для конструирования автономных систем с дополнительной несоизмеримой частотой. Помимо  научных задач, в  ходе выполнения проекта планируется  решение учебно-методической задачи, связанной с  численным моделированием динамических систем, построением и  фазовых портретов конкретных динамических систем,  изучению их зависимости от параметров, структурной устойчивости и т.д.