Научный семинар: "Восстановление фазового пространства систем и оценка показателей Ляпунова по временным рядам"

Докладчик: Купцов П.В. (НИУ ВШЭ - Нижний Новгород)
При исследовании динамики нелинейной системы требуется в первую очередь идентифицировать характер её поведения. Если математическая модель системы известна и задана в виде дифференциальных уравнений или рекуррентного отображения, то это можно сделать при помощи вычисления спектра показателей Ляпунова. Особенность процедуры вычисления этих показателей в том что точность вычисления сильно зависит от длины анализируемой траектории. Абсолютно точные значения могут быть получены только в асимптотике бесконечно длинной траектории. В численном счёте это с очевидностью невозможно. На траекториях конечной длины показатели флуктуируют в том смысле, что повторный запуск вычислений для другого отрезка траектории даст отличающиеся значения показателей.

Цель работы на третьем этапе проекта — разработка теоретических основ и алгоритмов вычисления быстрых ляпуновских индикаторов, а также программная реализация этих алгоритмов в ситуации когда недоступно не только уравнение в вариациях, но и уравнение динамки. Мы будем предполагать, что динамическая система представлено только в виде скалярного временного ряда. Иными словами, неизвестна даже размерность фазового пространства системы. Такая постановка задачи отвечает типичной ситуации анализа данных, полученных в ходе эксперимента с натурной системой, для которой по тем или иным причинам не удаётся построить математическую модель. Задача об исследовании характера динамики по записи временного ряда исследуется достаточно давно. В частности, существуют различные методы вычисления показателей Ляпунова по временным рядам. В настоящей работе мы возьмём за основу метод Сано и Савады, в котором по временному ряду данных реконструируется матрица Якоби и соответствующее уравнение в вариациях. Мы будем использовать этот подход для вычисления быстрых индикаторов. Кроме того, подход Сано и Савады будет дополнен вычислением уравнения в вариациях второго порядка, которое необходимо для вычисления индикатора OFLI2. Разработанные алгоритмы реализованы в виде компьютерных программ и протестированы на временных рядах, полученных численно для известных моделей динамических систем и радиофизических генераторов. Также они будут использованы для анализа динамки сердечно-сосудистой системы на основе записи рядов RR-интервалов.