Курсы школы-конференции "Математическая весна 2019"

История солитона (изначально – волны трансляции) насчитывает почти 200 лет. Из исключительно особенного типа волн после «революции» 1960-70хх годов, связанной с изобретением метода точного решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, солитоны оказались чрезвычайно распространенными, характерными решениями для многих ключевых уравнений в физике. В лекции будет рассказано, как могут выглядеть такие волны, насколько необычна их динамика, как в общих чертах работает Метод обратной задачи рассеяния, и какие новые актуальные задачи в физике требуют развития теории солитонов.

Многие важные свойства динамической системы связаны с существованием инвариантных слоений и ламинаций на ее фазовом пространстве. В лекциях курса будет рассказано о некоторых топологических инвариантах слоений на замкнутых ориентируемых поверхностях, отличных от сферы, и взаимосвязи слоений с геодезическими ламинациями в метрике нулевой кривизны на торе и постоянной отрицательной кривизны на поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики.

Современная качественная теория динамических систем тесно переплетена с довольно молодой наукой топологией. Многие странные конструкции топологии рано или поздно встречаются в динамике дискретных или непрерывных динамических систем. В лекциях мы покажем, как реализовать тот или иной топологический объект инвариантным множеством динамической системы.

В лекции будет введено понятие индекса замкнутой кривой относительно непрерывного векторного поля на плоскости, установлены некоторые свойства индекса и показано, как с помощью теории индексов векторного поля доказыается теорема о существовании по крайней мере одного (возможно, комплексного) корня у произвольного полинома степени n

На лекции будет рассказано доказательство известной теоремы теории множеств, называемой парадоксом Банаха-Тарского.

На лекции будет рассказано о том, что такое динамический хаос и каких типов он бывает. Отдельное внимание будет уделено странным аттракторам - притягиваюшим множествам с хаотическим поведением траекторий

Пусть M- замкнутое 3-многообразие с конечной фундаментальной группой. Согласно теореме Новикова любое гладкое слоение (M,F) коразмерности один на таком многообразии допускает компоненту Риба. Будет представлен метод реконструкции компоненты Риба, позволяющий получить гладкое слоение на со счетным множеством аттракторов.

Однопараметрическая сильно непрерывная полугруппа линейных операторов - это поток (в смысле теории динамических систем) в бесконечномерном пространстве функций. Парадигма функционального анализа позволяет переписать уравнение в частных производных как уравнение в обыкновенных производных, но относительно неизвестной функции, принимающей значения в бесконечномерном пространстве функций. Более того, это уравнение получается очень простым - линейное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решением которого является экспонента. Найти экспоненту означает найти решение исходного уравнения с частными производными. Оказывается, для экспонент от операторов справедлив аналог теоремы о втором замечательном пределе из элементарного анализа, этот результат называется теоремой Чернова. О том, как с помощью теоремы Чернова можно находить приближённо значение экспоненты и тем самым решать уравнения с частными производными, будет рассказано в курсе. Начало курса будет элементарным, но в конце автор надеется дойти до самых современных результатов в этой области, в том числе полученных им лично в последние годы.

Почти контактные метрические многообразия, наделенные N-связностью, образуют класс многообразий Римана-Картана (в другой терминологии - метрически-аффинных многообразий) - римановых многообразий, оснащенных связностью с кручением. Метрически-аффинные многообразия легли в основу теории гравитации Эйнштейна–Картана. Работы, посвященные многообразиям Римана-Картана, написаны большей частью физиками и, тем самым, отражают специфику физической науки. Из всех классов многообразий Римана-Картана математиками последовательно изучались только четверть-симметрические и полусимметрические метрические пространства. N-связность на почти контактном метрическом многообразии введена докладчиком. Планируется после краткого введения в геометрию многообразий Римана-Картана перейти к обсуждению проблемы классификации почти контактных метрических многообразий с N-связностью.

Конструктивные доказательства содержат не только аргументы в пользу существования какого-либо объекта, но и алгоритм для его построения. Один из способов записи таких доказательств, называемый натуральным выводом, интересен тем, что доказательство само является алгоритмом. Это совпадение, называемое изоморфизмом Карри-Говарда, устанавливает связь между доказательствами и лямбда-исчислением, являющимся основой современных языков функционального программирования. В лекциях будет показано, чем обычная классическая логика отличается от конструктивной, описана связь между натуральным выводом и лямбда-исчислением и ее использование в формализованной математике.

Группа голономии псевдориманова многообразия несёт богатую информацию о геометрии многообразия. Классическим и важным результатом является классификация связных групп голономии римановых многообразий. В лекции будут представлены недавние результаты о классификации групп голономии лоренцевых многообразий и некоторые общие результаты о группах голономии псевдоримановых многообразий

В этих лекциях будут рассмотрены следующие вопросы одномерной динамики: (i) комбинаторная классификация (ii) топологическая классификация (iii) эргодические свойства