• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Глава в книге
Neural Networks for Speech Synthesis of Voice Assistants and Singing Machines

Pantiukhin D.

In bk.: Integral Robot Technologies and Speech Behavior. Newcastle upon Tyne: Cambridge Scholars Publishing, 2024. Ch. 9. P. 281-296.

Препринт
DAREL: Data Reduction with Losses for Training Acceleration of Real and Hypercomplex Neural Networks

Demidovskij A., Трутнев А. И., Тугарев А. М. et al.

NeurIPS 2023 Workshop. ZmuLcqwzkl. OpenReview, 2023

Математический анализ

2020/2021
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
8
Кредиты

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Курс математического анализа включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию числовых и функциональных рядов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей экономических явлений и решению бизнес-задач
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Студент должен продемонстрировать высокий уровень знаний основных определений, теорем, методов, доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практических задач студент должен показать умение анализировать и применять теоретические факты к решению данной задачи, продемонстрировать навыки решения данного класса задач.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение в анализ. Элементы теории множеств и функций
    Понятие множества. Операции над множествами. Понятие отображения (функции), области определения и множества значений. Обратная функция. Композиция функций (сложная функция). График функции. Элементарные функции: классификация, простейшие свойства, графики.
  • Предел последовательности.
    Определение числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Достаточное условие отсутствие предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Лемма о конвоирующих. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенные выражения, методы раскрытия неопределенностей.
  • Предел функции
    Определение предела функции в точке по Коши (в терминах окрестностей и неравенств) и по Гейне (в терминах последовательностей). Теорема об эквивалентности этих определений. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имею-щих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Односторонние пределы. Достаточное условие отсутствие предела в точке. Неопределенные выражения. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций, о-символика. Эквивалентность бесконечно малых.
  • Непрерывные функции.
    Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, первая и вторая теоремы Больцано-Коши). Теорема о непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке. Точки разрыва, их классификация.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
    Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференци-руемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производная неявно заданной функции. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное ус-ловие дифференцируемости. Понятие первого дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Экстремумы функции одной переменной. Локальный и глобальный экстремум. Необходимое и достаточное условия для внутреннего локального экстремума. Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя-Бернулли. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций од-ной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной.
    Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов элементарных функций. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений (сведение в интегрированию рациональных функций). Интегрирование иррациональных выражений. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Основные свойства определенного интеграла: интеграл единицы, линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных интегралов от положительных функций. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Дифференциальное исчисление функций многих переменных
    Понятие n-мерного евклидова пространства.Неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные окрестности точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые, компактные множества. Понятие функции многих переменных. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия диф-ференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Уравнение касательной плоскости и нормали к графику функции двух переменных в точке. Понятие первого дифференциала функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.
  • Числовые и функциональные ряды.
    Понятие числового ряда, сходящегося ряда, суммы ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда. Знако-положительные числовые ряды. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные последовательности и ряды. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора функции. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий письменный экзамен за 1 модуль
  • неблокирующий письменный экзамен 3 модуль
  • неблокирующий Домашняя работа 1-2 модуль
  • неблокирующий Контрольная работа 1 модуль
  • неблокирующий Домашняя работа 2-3 модуль
  • неблокирующий Контрольные работы 2-3 модуль
  • неблокирующий Самостоятельная работа на занятиях
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.5 * Контрольная работа 1 модуль + 0.5 * письменный экзамен за 1 модуль
  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.4 * Контрольные работы 2-3 модуль + 0.4 * письменный экзамен 3 модуль + 0.2 * Самостоятельная работа на занятиях
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Максимова О. Д. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2-е изд. Учебное пособие для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 177с. - ISBN: 978-5-534-07208-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-primerah-i-zadachah-predel-chislovoy-posledovatelnosti-442138
  • Никитин А. А., Фомичев В. В. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 460с. - ISBN: 978-5-534-00464-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-uglublennyy-kurs-432899
  • Потапов А. П. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФНП, УРАВНЕНИЯ И РЯДЫ. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 379с. - ISBN: 978-5-534-08280-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-differencialnoe-ischislenie-f-n-p-uravneniya-i-ryady-424735

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Апарина Л. В. - Числовые и функциональные ряды - Издательство "Лань" - 2012 - 160с. - ISBN: 978-5-8114-1341-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3798
  • Дерр В.Я. - Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения. (для бакалавров) - КноРус - 2019 - 387с. - ISBN: 978-5-406-06377-4 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/930014
  • Максимова О. Д. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2-е изд. Учебное пособие для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 200с. - ISBN: 978-5-534-07222-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-primerah-i-zadachah-predel-funkcii-442137
  • Пак В. Г. - ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ. СБОРНИК ЗАДАЧ. Учебное пособие для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 235с. - ISBN: 978-5-534-09512-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/diskretnaya-matematika-teoriya-mnozhestv-i-kombinatornyy-analiz-sbornik-zadach-428045
  • Потапов А. П. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 256с. - ISBN: 978-5-534-04680-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-1-433687
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н. ; Под общ. ред. Ильина В.А. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 115с. - ISBN: 978-5-534-08473-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-predel-i-nepreryvnost-funkcii-odnoy-peremennoy-441132