Компьютерный практикум по численным методам

2022/2023

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

7

Кредиты

Кто читает:

Кафедра прикладной математики и информатики (Нижний Новгород) (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватель

Пеплин Федор Сергеевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс направлен на формирование у студентов практических навыков решения задач линейной алгебры и математического анализа с использованием инструментария численных методов. В качестве среды разработки выбрана экосистема языка Python.

Цель освоения дисциплины

• Повторение, закрепление и расширение знаний по различным разделам курсов "Математический анализ" и "линейная алгебра".
• Получение навыка численного решения задач указанных двух математических дисциплин в тех случаях, когда аналитическое решение отсутствует или затруднительно.
• Получить представление о том, как абстрактные математические понятия используются для решения реальных задач.
• Подготовка к освоению дисциплин, посвященных анализу данных.

Планируемые результаты обучения

• Формулировать сущность и различия двух основных способов представления действительных чисел в памяти компьютера: с фиксированной точкой и с плавающей точкой
• Оценивать погрешность основных операций при использовании чисел с плавающей точкой различного размера
• Называть причины потери значащих цифр (loss of significance)
• Оценивать устойчивость работы алгоритма
• Конструировать алгоритмы, устойчивые к накоплению погрешности
• Формулировать алгоритм Кахана
• Формулировать постановку задачи интерполяции
• Записывать вид многочлена Ньютона
• Записывать вид многочлена Лагранжа
• Реализовывать многочлены Ньютона и Лагранжа в виде программного кода
• Называть определения сплайна, дефекта, степени и гладкости сплайна
• Строить многочлены Лежандра как результат применения процедуры Грама-Шмидта к наивному полиномиальному базису
• Находить аппроксимацию функции в виде ряда функций Лагранжа
• Аппроксимировать функции методом наименьших квадратов
• Называть основные методы численного дифференцирования, сравнивать их между собой
• Оценивать погрешность численного дифференцирования
• Реализовывать алгоритмы численного дифференцирования в виде программного кода
• Формулировать формул Ньютона-Котеса
• Реализовывать методы трапеций, прямоугольников, Симпсона в виде программного кода
• Оценивать погрешности квадратурных формул
• Формулировать квадратурные формулы наивысшей степени точности
• Вычислять кратные интегралы
• Реализовывать методы дихотомии, простой итерации, Ньютона и установления в виде программного кода для решения прикладных задач
• Вычислять произведения векторов и матриц
• Осуществлять быстрое умножение разреженных матриц на векторы
• Находить нормы векторов и матриц
• Нахождение собственных чисел матрицы с помощью кругов Гершгорина, QR-алгоритма и степенного метода
• Приводить квадратичную форму к диагональному виду
• Проверять квадратичную форму на положительную определенность/неопределенность
• Применять прямые и итерационные методы решения СЛАУ
• Формулировать сингулярное разложение матрицы
• Находить сингулярные разложения матрицы
• Вычислять малоранговые приближения матриц
• Применять малоранговые приближения матриц к практическим задачам
• Интерполировать двумерные данные в виде сплайнов

Содержание учебной дисциплины

• Представление действительных чисел в памяти компьютера
• Интерполирование и аппроксимация функций
• Численное дифференцирование и интегрирование
• Решение нелинейных алгебраических уравнений и их систем
• Векторы и матрицы
• Собственные числа матрицы
• Квадратичные формы
• Системы линейных уравнений

Элементы контроля

• Представление действительных чисел в памяти компьютера
• Сплайны
  При выполнении лабораторной работы студенты должны будут разработать программу, осуществляющую интерполяцию данных с помощью кубического сплайна дефекта 1. Также студентам нужно будет найти точку пересечения сплайнов и, если сплайны не пересекаются, то минимальное расстояние между ними.
• Интерполяция и аппроксимация
• Численное дифференцирование и интегрирование
• Векторы и матрицы
• Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений
• Квадратичные формы
• Собственные векторы и значения
• Сингулярное разложение матрицы и его приложения
• Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки)
  Моделирование динамики пневмооболочки с использованием нелинейных алгебраических уравнений
• Численное интегрирование
• Собственные числа (QR-алгоритм)
• Итоговый тест

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.1 * Сплайны + 0.037 * Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений + 0.037 * Численное дифференцирование и интегрирование + 0.1 * Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки) + 0.037 * Представление действительных чисел в памяти компьютера + 0.037 * Векторы и матрицы + 0.037 * Собственные векторы и значения + 0.304 * Итоговый тест + 0.037 * Интерполяция и аппроксимация + 0.1 * Собственные числа (QR-алгоритм) + 0.037 * Сингулярное разложение матрицы и его приложения + 0.1 * Численное интегрирование + 0.037 * Квадратичные формы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Гулин А.В.,Мажорова О.С.,Морозова В.А.-М.:АРГАМАК-МЕДИА,НИЦ ИНФРА-М,2019- 368с.:- (Прикладная математика, информатика, информ.технологии) - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/1032671
• Вычислительная математика : учебник для вузов, Жидков, Е. Н., 2013
• Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. - MATLAB 7. Программирование, численные методы - 5-94157-347-2 - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург - 2005 - 18423 - https://ibooks.ru/bookshelf/18423/reading - iBOOKS
• Семакин, И. Г., Программирование, численные методы и математическое моделирование : учебное пособие / И. Г. Семакин, О. Л. Русакова, Е. Л. Тарунин, А. П. Шкарапута. — Москва : КноРус, 2021. — 298 с. — ISBN 978-5-406-08626-1. — URL: https://book.ru/book/940464 (дата обращения: 25.08.2023). — Текст : электронный.
• Численные методы, учебное пособие, МГУ им. М. В. Ломоносова, 6-е изд., 636 с., Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельников, Г. М., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

• Русина Л. Г. - Вычислительная математика. Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений и систем - Издательство "Лань" - 2021 - ISBN: 978-5-8114-5518-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/156403